数据拟合和最佳平方逼近.ppt

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函数逼近是用较简单的函数y(x)近似代替函数f (x) ．如果函数是
连续函数f (x) ，通常就称为函数逼近，如果f (x)是一个离散的
数表，则常称为数据拟合．
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拟合和逼近的概念
第一章 数据拟合和最佳平方逼近
对离散的 和 ,
称为f和g的内积．这是我们已经知道的向量内积．
为f (x)和g (x) 在[a,b]上的内积.
的范数定义
对连续的f (x)和g (x) ，有：
* 设 , 称
* f (x)C[a,b]在[a,b]上的范数定义为
其中最小二乘法则算法最简单也最常用，当f (x)是离散数据时，称为最小二乘拟合；当f (x)是连续函数时，称为最佳平方逼近．
定义误差函数 ，若构造 y (x)
使　 ，称最小一乘法则；
使　 ，称最小二乘法则；
使　 ，称最佳一致逼近．
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数据拟合
现寻求一个函数 y (x)来逼近数据 使其在节点 xi 处的整体误差能达到最小．
设函数f (x)是一组数据
最小二乘函数拟合
对f (x)的一组数据 ，若存在函数
使
则称y (x)为f (x)在函数类m中的最小二乘逼近函数．
最小二乘逼近函数存在且惟一．
A
E
D
B
C
由多元函数极值的必要条件有
定义m+1元函数
其中
则有方程组
证 记
称方程组()为正规方程(法方程，正则方程)，写成矩阵形式有
01
当 线性无关时，方程组()的系数的行列式不等于0，方程组有一组惟一的解
02
有
由()式有
数据拟合的余项
记
01
为不超过m次的多项式集合，此时
数据拟合最简单最常用的情况是用多项式函数作数据拟合.
01
多项式拟合(例子)
正规方程为
其中
求解此方程组就可得到最小二乘拟合多项式ym(x).
有时也简记为