数论中的若干问题和进展.ppt

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徐飞

伍
求解代数方程 ：复数 C。
肆
减法：整数 Z。
叁
Peano公理：自然数（正整数）和零。
贰
极限：实数 R。(π, √2, ℮ )
壹
除法：有理数 Q。
数论大致分为两类问题：
素数问题。如Riemann猜想，Goldbach猜想等。
整系数多项式方程的整数解。如Fermat猜想，BSD猜想等。

如果正整数m整除正整数n，称m是n的
一个因子。
如果正整数p的因子只有1和p，那么p称
为素数。
如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。

01
算术基本定理：任何一个正整数都可表示为
02
素数的乘积。不考虑乘积秩序，表达式唯一。
03
如：4=2x2, 6=2x3，12=2x2x3 等等。

定理（Euclid）：素数有无限多。
证法一：如果素数只有有限多个，记为
那么根据算术基本定理，
的素数因子就一定不是上述的素数，矛盾！

证法二（Riemann)：根据算术基本定理，
其中s是大于1的实数。
如果素数只有有限多，那么无论s取什么
值等式右边都是有限值，而等式左边当s=1时
是发散的。矛盾！

2
1
3
利用证法二可以证明：
定理（Dirichlet)：等差级数 a，a+d，a+2d，
…，a+nd，… 中如果a和d互素，那么该等差
4
级数中会有无限多个素数。

01
Riemann zeta 函数
02
满足函数方程s1-s。
03
(Riemann猜想)： Riemann zeta函数的非平
04
凡零点在实部为1/2的竖直线。

猜想：孪生素数有无限多对？
（17，19）等等。
如（3，5）； （5，7）； （11，13）；
孪生素数。
如果p和p+2都是素数，称（p，p+2）为
D
C
B
A
E