2025届新高三学情摸底考02（新课标卷）(学生版）.docx

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2025届新高三学情摸底考02 （新课标卷）
数学
注意事项：
.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将 准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的 四个选项中， 置上.
=卜,2一1一12>。},3 =卜£2卜6<%<6},则AcB的元素的个数为
2.
3.
A. 3
(l-2i)(l-2i3)_ o - (
--i
2
4
5
D.
D.
2 + |i
已知向量，若£与石方向相反，则卜一也囚二
A. 54
B. 8
C. 3a/3
D.
在 R 上满足/(2 —x) —2/(%) = —/—4%+4,则曲线 y = /(x)在点(1 J(l))
处的切线方程为（）
A. 6x-y-5 = 0 B. 6x-y + 5 = 0
C. 2x-y-l = 0 D. 2x-y + l = 0
"= 5在点(1J⑴)处的切线的倾斜角为明则,, =()
3 2 sin2a + 2cos~。
• 1 3 —八 8
A. — B. - - C. 2
2 5 5
.点P(2,l)的直线中，被圆C:/ + y2—2x + 4y = 0截得的最长弦所在的直线方程为()
3x-y-5 = 0
3x+ y-7 = 0
C. x + 3y — 5 = 0
+ l = 0
.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多， 其中有一种金属陀螺(如图)，它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆 锥；现知尖底长(PO)为3,柱体与锥体部分高之比2:1,底周长为2万，则陀螺的表面积为
.已知耳，尸2分别是双曲线十一 £ = 1(。＞0力＞0)的左、右焦点，过耳的直线与圆
/ + 丁=/相切且分别交双曲线的左、右两支于人、8两点，若|/3|=忸闾，则双曲线的渐
近线方程为()
A. 3x±y = 0 B. 2y/2x±y = 0
C. (V3 + l)x±y = 0 D.(百-l)x±y = 0
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分， 四个选项中，，选对但不全的得部分分， 有选错的得0分.
.在下列关于概率的命题中，正确的有()
, 3满足P(A) + P(3) = 1,则48为对立事件
，则A与8也是互斥事件
，则A与否也是相互独立事件
I 3 1
(4) = z，P(B) = ： , P(AB) = -,则A, 3相互独立
3 4 4
（ 冗、
〃x） = 2sin［s +j（0>O）,则下列说法正确的是（）
，则其图象关于直线x = J对称
O
（JT \
，则其图象关于点-,0对称
“X）在区间上单调递增，则①的最大值为2
I O
\ q 73
””在［0,2句有且仅有5个零点，则①的取值范围是:〈三 O O
.已知函数/（同=卜、-。卜Qlnx,则下列说法正确的有（）
<0,则的值域为R
= l,则过原点有且仅有一条直线与曲线 ） =〃外相切
〃>0,使得/（x）有三个零点
〃司之0,则。的取值范围为［0,4
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数必cde,若满足a>〃>cvdve的五位数有 〃个，则在1 + （1 + "+（1 + "+（1 +疗+…+ （1 + %户的展开式中，/的系数是.（用数 字作答）
.在AABC中，角AB,C所对的边分别为a,。,c,若NC = 60°,b = 2,c = 2jL则
a =
2 2
。的方程为工+二=1, A, B为椭圆。的左右顶点，P为椭圆。上不同于A.
9 3
8的动点，直线x = 6与直线Q4,依分别交于V, N两点，若。（9,0）,则过M , N三 点的圆必过x轴上不同于点。的定点，其坐标为.
四、解答题：本题共5小题，、证明过程或演算 步骤.
（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文 明城市的最大受益者， 建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间［50,100］, 从中随机抽取了 40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中。的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数(同一组中的数据用该组 区间的中点值代替)；
⑵利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明 ，求至少有1人竞赛成绩位于区间 [90,100]的概率.
(15分)已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，前〃项和为S”，4=2, 3S4=2534-S5. (1)求数列｛4｝的通项公式；
(2)设或=[- + log24, 一为数列也｝的前〃项和,求人
(15分)在四棱锥P-ABC。中，△Q4O为正三角形，平面B4O_L平面A3CZ), E为AD 的中点，AB//CD, AB±AD, CD = 2AB = 2AD = 4.
(1)求证：平面PCD，平面
(2)在棱8上是否存在点使得AM 1平面P8E?若存在，求出器 的值；若不存在, 说明理由.
(17分)已知动圆。的圆心在x轴上，且经过点N(-4,0),动圆C与x轴的另一个交点
为A,与y轴的一个交点为B,过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于
点
⑴求点M的轨迹方程； ⑵设点M的轨迹为£,曲线£上一点P[,2),过点尸的直线PS, P7交曲线后于
S, T两 点，且PS_LPT,求证：直线ST过定点，并求出定点坐标.
(17分)给出以下三个材料：①若函数/(%)可导，我们通常把导函数尸(到的导数叫做
的二阶导数，记作了"(，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作〃(%),三阶 导数的导数叫做四阶导数……一般地，n-1阶导数的导数叫做〃阶导数，记作 /(〃)(月=7(〃7)(可二九24。若〃£叶，定义〃! = 〃x(〃 —1)x(〃 —2)x…x3x2xl .③若函数 “X)在包含/的某个开区间(。力)上具有〃阶的导数，那么对于任一工£(。力)有 g(%) = /(%) +牛(％ —/) +粤(X —*2+£^1(17。)3+ ••• + 2^(% —%)",我 们将g(x)称为函数“X)在点X = %处的〃，y = e"在点X = O处的〃阶泰勒 展开式为1 + % +(/+…根据以上三段材料，完成下面的题目：
2 n\
⑴求出工(x) = sinx在点x = 0处的3阶泰勒展开式&(力，并直接写出力(x) = cosx在点
x = 0处的3阶泰勒展开式g2(x)；
⑵比较(1)中/(%)与& (力的大小.
(3)证明：e" +sinx + cosx>2 + 2x.