时间序列分析的基本概念.ppt

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本章结构
时间序列数据的预处理
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随机过程基础概念和基本理论介绍
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平稳过程的特征
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线性差分方程
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随机过程
描述
在对某些随机现象的变化过程进行研究时，需要考虑无穷多个随机变量，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计特征，这样的随机变量族通常称为随机过程。
例子：随机游动(或游走)模型，Brown运动等等
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随机游动
设X1,X2,…是一列独立同分布的随机变量序列，令
Sn=S0+X1+X2+…+Xn
则称随机变量序列{Sn；n=0,1,…}为随机游动。
其中S0是与X1,X2,…相互独立(但是不同分布)的随机变量，一般地，我们总是假定S0=0。如果
P(Xn=1)= P(Xn=-1)=1/2
就是一般概率论与数理统计教材中提到的简单随机游动。
设{X(t)，t∈T}是一个随机过程
均值函数
协方差函数
方差函数
随机过程的特征统计量
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平稳过程
平稳过程：随机过程处于某种平稳状态，其主要性质与变量之间的时间间隔有关，而与所考察的起始点无关。
01
平稳过程的分类：
严平稳
宽平稳
02
严平稳 (strictly stationary)
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当过程所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该随机过程才能被认为平稳。
定义：有限维分布关于时间是平移不变的
设随机过程{X(t)，t∈T}对任意的t1,…,tn∈T和任意的h有
(X(t1 +h),X(t2 +h), …,X(tn +h) )和(X(t1),X(t2),…,X(tn))具有相同的联合分布，记为
(X(t1 +h),X(t2 +h), …,X(tn +h) )=(X(t1),X(t2),…,X(tn))
则称过程{X(t)，t∈T}是严平稳的。
宽平稳 (weakly stationary)
宽平稳是使用随机过程的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为随机过程的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证低阶矩平稳(二阶)，就能保证随机过程的主要性质近似稳定。
定义：满足如下条件的随机过程{X(t)，t∈T}称为宽平稳过程，简称平稳过程。
【注】若T是离散集，则称平稳过程{X(t)}为平稳序列{Xn}。
严平稳与宽平稳的关系
区别：
宽平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的一、二阶矩上，对于高于二阶的矩没有任何要求；
严平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的概率分布上，以保证序列所有的统计特征都相同；
两者的要求不同，一般说来，严平稳比宽平稳要求要“严”。
严平稳与宽平稳的关系
联系：
严 宽：因为宽平稳要求期望和协方差都存在，而严平稳要求概率分布存在，并不断言一二阶矩存在。而服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列，因为它的一、二阶矩均不存在；
宽 严：不言而喻；
严平稳+二阶矩存在 宽平稳，但反过来一般不成立；
对于正态过程来说，有严平稳 宽平稳。
在实际应用中，研究最多的还是看宽平稳时间序列。