有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法.ppt

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第六章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法(2)
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演讲人姓名
窗函数设计法
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顾名思义，窗函数设计法就是利用加窗技术来设计线性相位FIR滤波器的。
加窗处理是在时域进行的，是一种时域设计方法。
其基本思想是，在给定理想线性相位FIR滤波器的频率响应函数Hd(ej)的前提下，用有限长的一个h(n)去逼近理想的hd(n)。这种逼近可以看成是对hd(n)进行加窗截断处理而得到的。
设计方法
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已知理想滤波器的频率响应 Hd(ej)（一般为具有矩阵形状的频率响应特性）。要求设计一个FIR滤波器响应
逼近Hd(ej)
是一个无限长序列，若用有限长的h(n)去逼近它就要对hd(n)作加窗截断处理。设所用的窗函数为w(n)
则有
由于
设计方法
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设低通滤波器的通带截止频率为c，低通滤波器的群时延为α，此时的Hd(ej)如下
在通带内|Hd(ej)|=1，相位为线性相位-α，Hd(ej)对应的hd(n)为
下面就以矩形窗函数为加窗函数，以低通滤波器为例来分析窗函数的设计方法
由上式可以看到，在衡量h(n)与hd(n)的相似程度时，w(n)函数起到了关键作用。我们最直接所能够想到的窗函数为矩形窗函数。
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设计方法
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hd(n)是一个中心点在α的偶对称无限长的非因果序列
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令 w(n)=RN(n)
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则 h(n)=hd(n)RN(n)
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思考：
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hd(n)为线性相位，而要求设计的h(n)也应满足线性相位的要求。回顾上节中关于线性相位FIR Filter的单位样值响应h(n)的约束条件，可知h(n)必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半，即(N-1)/2，因而必须要求α=(N-1)/2，这样的h(n)才是具有线性相位频率特性的
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设计方法
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将（6-27）式的hd(n)代入上式可得
故有
设计方法
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下面就来求解 h(n) 对应的频率响应函数 H(ej)，并比较 H(ej) 和 Hd(ej) 的异同
由（6-25）式可得
由式（6-30）式可知，H(ej) 逼近 Hd(ej) 的程度关键取决于 W(ej) 即取决于窗函数的频谱特性
得到了h(n)，就可以通过傅氏分析，找出所求FIR滤波器的频率特性
这里，由于α=(N-1)/2，故h(n)是满足线性相位约束条件的
设计方法
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其中
其中
若w(n)=RN(n)，有
将Hd(ej)也写成(6-31)的形式，可得
设计方法
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将 (6-31)、(6-32) 式代入 (6-30) 式可得
(6-33)式说明：实际FIR滤波器的幅度函数 H() 是理想FIR滤波器幅度函数Hd()与窗函数WR()的卷积
下面用图示的方法，说明矩形窗函数设计低通滤波器的H()


设计方法
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图8(a)表示理想低通滤波器的幅度函数
图8(c)表示Hd()和WR()在=c处的卷积情况，可以看到WR(-θ)的左半部分与Hd(θ)重合而右半部分不重合（对应图8(f)的c点）
图8(e)表示Hd()*WR()在=c+2π/N处的情况，可以看到WR()的左半部分旁瓣与Hd(θ)重合而主瓣和右半部分旁瓣不与之重合（对应图8(f)的2点）
图8(b)表示矩形窗的幅度函数
图8(d)表示Hd()*WR()在=c-2π/N处的情况，可以看到WR()的主瓣和左半部分旁瓣与Hd(θ)重合而右半部分旁瓣不与之重合（对应图8(f)的1点）
图8(f)表示Hd()*WR()对H(0)归一化的结果。其中H(0)为图8(a)和图8(b)相重合部分相加的结果
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