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§2 柯西中值定理和不定式极限
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一 柯西中值定理
汇报人姓名
设曲线（图6-2-(d)）的参数方程为
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另一方面参数方程所确定函数的导数为
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由Lagrange定理知道，
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若曲线C连续，且处处有不平行于轴的切线，其线内必有一点的切线是平行于曲线两端点的连线.
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现在我们想知道的是： 当平面曲线C是用参数方程表示时，Lagrange定理如何叙述？
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且是连续的、处处有不垂直于X轴的切线，
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端点 、 的连线 ——弦AB的斜率是
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所以应有结论：
这个结论实际上是由数学家Cauchy给出的，但他并没有局限 、 为参数方程的两个函数，而是作为两个一般的函数给出结论的.
至少存在一点   (a,b)，使得
现给出一个形式更一般的微分中值定理.
则存在 ，使得
一 柯西中值定理

（柯西中值定理）
设函数 和 满足
（i）在 上都连续；
(ii) 在 上都可导；
(iii) 不同时为零；
(iv) ,
(1)
注1
在uov平面上表示一段曲线（图6-5）.
柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义.
只是现在要把 这两个函数写作以x为参数的参量方程
因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行.
a>b时，Cauchy中值定理的结论仍成立.
由于（1）式右边的 表示连接该曲线两端的弦
AB的斜率，
而（1）式左边的 则表示该曲线上
与 相对应的一点 处的切线的斜率.
注2
Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情况（要求 ）；
注3
Lagrange中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理.
如果取函数 ，Cauchy中值定理就变成Lagrange中值定理了，所以Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，
于是有 ，使得
上式整理后便得到所要证明的（2）式.
例1
设函数 在 上连续，在 内可导，则存在 ，使得
（2）
证
设 ，
显然它在 上与 一起满足柯西中值定理条件，
二 不定式极限
#2022
1. 型不定式极限　　　
若 ， 求 ．
与柯西中值定理的结论右端很相似，由柯西中值
定理的条件可知，若补上 、 在a的某个空心邻或内可导,
补充定义 、 在 的函数值
（不影响求函数极限）有