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高阶导数公式
第三章 复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B,
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1
在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向)
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2
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
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3
设C为B内
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4
B
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5
C
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6
D
C
定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内部的任一点, 则
D
C
CR
z
z0
R
且 R<d.
故任给e >0, 存在d >0, 当|z-z0|<d 时, |f(z)-f(z0)|<e.
在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向),
=0
证明: 由于f(z)在z0连续,
——柯西积分公式
说明:
1) 这里的D可为单连通域，也可为多连通域；
只要 f (z)在简单闭曲线C及其所围的区域内解析, 且z0在C的内部, 则
柯西积分公式也成立。
2) 柯西积分公式的含义
3) 柯西积分公式的应用: 可求积分
a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
要注意:
函数在C内部任一点的值可用它在边界上的值通过积分唯一确定。
特别, 如C: |z-z0|=R, z=z0+Reiq, 则上式成为
例1：求下列积分(沿圆周正方向)的值:
例2：求
其中C为包含圆周|z|=1在内的任意正向简单闭曲线.
二、高阶导数公式
如果各阶导数存在, 并且导数运算可在积分号下
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1
进行, 则
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2
由 , 解析函数的积分表达式为
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3
(1) 解析函数是否存在各阶导数?
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4
(2) 导数运算可否在积分号下进行?
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5
高阶导数公式.
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6
高阶导数公式
定理(高阶导数公式) 设函数f (z)在区域 D内解析,
z0 在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线, 且C的内部全含于D,
则f (z)在z0处存在各阶导数, 并且
说明:
1) 解析函数具有任意阶导数；
可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
2)
确定。
说明:
高阶导数公式的应用: 可求积分
要注意:
f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分.