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()
其中，系数a(x,y)，b(x,y)，c(x,y)满足
()
对应方程()的定解问题有下面三类：
第一边值问题，或称Drichlet问题
设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章
考虑如下椭圆型方程的差分解法：
其中
第二边值问题，或称Neumann问题
第三边值问题，或称Robin问题
单击此处添加标题
02
单击此处添加标题
01
设Ω为正方形区域，0<x<1，0<y<1，求方程()
满足边值条件
的解。
()
()
考虑Laplace方程
正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟
因此Laplace方程的五点差分格式为
（）
它具有截断误差:
我们引进记号◇，有
()
◇
◇
因此差分方程()即
。

定义向量
建立差分方程，由此在区域Ω内部
个点上建立 个方程。
在区域Ω的每一内部结点(l,m)上
◇
（）
其中，A是 阶方阵
I 是(M-1)阶单位方阵；B是(M-1)阶方阵。
单位正方形中的内部结点上的 个线性方程()写成矩阵形式为
AU=K （）
现在我们考虑Laplace方程Neumann边值问题，即
()
表示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方
形的四个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里
将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定
义。
Neumann边值问题的差分模拟
Neumann边值问题()的解存在，仅当
且除了一个任意常数外，解唯一。因为容易看到，如
果u(x,y)是式()的解，于是， u(x,y)+C(C是一个任
意常数)也是其解。为了唯一性，需要规定u(x,y)在区域
中某一点上的值。
在内点上，Laplace方程由差分方程()代替：
先在区域Ω中给定一个正方形网格区域，步长为
h，Mh=1,于是必须确定解的结点为 个，结点上
的差分方程的解为
Neumann边值问题的差分模拟
（）