概率论与数理统计期望.ppt

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第一节 数学期望
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一、离散型随机变量的数学期望
我们希望引进这样一个特征数字，它能反映随机变量X所取数值的集中位置，就象力学系统中的重心反映该系统质量的集中位置一样，在概率论中，这样一个数字就是随机变量的数学期望（也称平均值）.
先看一个例子。
1
2
观察一名射手20次射击的成绩如下：
人们常使用“平均中靶环数”来对射手的射击水平作出综合评价，记平均中靶环数为x, 则有：
我们知道，当试验次数增大时，频率的稳定值就是概率，那么完整描述该射手真实水平的是其射中各环数的概率分布，相应地，观察到的平均中靶环数x 随试验次数增大必将趋于一个稳定值，设中靶环数X（观察之前为随机变量）的分布律为：
P{X=i}=pi, i=0,1,2,…,10,
1
2
定义中“绝对收敛”这一条件，是为了保证E(X)的值不因求和的次序改变而改变，期望公式(1)实际上是随机变量X的取值以概率为权的加权平均，它也有一个物理的解释。
例1 X~b(1,p), 求E(X)解 因X有分布律
X的数学期望为E(X)=0(1-p)+1p=p.
X
0
1
pk
1-p
p
例2 设X~p(l), 求E(X)解 X的分布律为
X的数学期望为
次品数X1
0
1
2
3
pk




次品数X2
0
1
2
3
pk



0
试比较他们的技术水平的高低。
例3 甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，用X1,X2分别表示甲、乙两人某天生产的次品数，经统计得以下数据：
解 根据定义，X1的数学期望
解 根据定义，X1的数学期望 E(X1)=0+1+2+3= E(X2)=0+1+2+30=所以甲的技术水平比乙低。
次品数X1
0
1
2
3
pk




次品数X2
0
1
2
3
pk



0