Cayley图的正规性与1-正则性研究.docx

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引言
Cayley图在代数、组合数学、离散数学、图论等领域都有着广泛的应用，其中正规和1-正规是Cayley图的两个重要性质。正规性是指对于群G的任意一个子群H，左陪集aH与右陪集Ha在G中是相等的；而1-正规性是指G的元素a和b，当它们的共轭ab a^-1b^-1属于H时，a和b在同一个H的左陪集中。本文将探讨Cayley图的正规性和1-正规性的相关研究。
正规性的研究
Cayley图的正规性是群G的一个重要性质，其也是判断一个群是否是Abel群的一个重要方法。在20世纪20年代-30年代，Birkhoff、MacLane等人研究了Abel群和正规性的关系。此后，正规性的研究一直在进行中。
Kapeljushnik-Pinskii在1955年通过引入群上的算子，研究了群的正规性问题。在1971年，，如果S是G的任意一个不包含单位元素的置换，则元素s属于G的正规子群H的充分必要条件是s在H的左陪集内。据此，可以构造出任意一个群G的正规子群。
1-正规性的研究
Cayley图的1-正规性也是群G的一个重要性质。Kegel和Wielandt在1954年研究了1-正规性，得出如下结论：如果一个群是1-正规的，则它必须是可解的。这个结论对于求解群和群同构问题有着重要的应用。
1980年，-正规的有限群，并给出了它们的结构，这对于研究有限群具有一定的指导作用。1990年，Hadi Kharaghani证明了所有有限无素群都具有正则Cayley图。直到今天，Cayley图的正规性和1-正规性还在继续研究中，相关论文还在不断涌现。
结论
Cayley图的正规性和1-正规性是群理论中的两个重要概念，在代数、组合数学、离散数学、图论等领域都有着广泛的应用。正规性是判断一个群是否是Abel群的一个重要方法，1-正规性可以用于求解群和群同构问题。在相关研究中，学者们不断发现新的性质和结论，为Cayley图的应用和发展提供了有力的支持。