H-矩阵（张量）的判定及其Schur补研究.docx

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H-矩阵是指具有弱对角支配性质的矩阵，是指任意一个n×n的矩阵A，如果满足当i≠j时，|a_ij|≤a_ii，则矩阵A为H-矩阵。H-矩阵在科学计算中具有重要的作用，近年来在数值计算中得到了广泛的应用。
H-矩阵判定
矩阵是H-矩阵的充分必要条件是，其Schur补矩阵也都是H-矩阵。这里简单介绍两种判定矩阵是否为H-矩阵的方法。
1. Gauss–Jacobi方法
Gauss–Jacobi方法利用递推的思想，从对角线开始计算矩阵的值。对于一个n×n的矩阵A，利用递推公式计算求出其第i行剩余元素中绝对值最小的数的相反数，即：
a_ii = −∑_(j=1,j≠i)^n a_ij /|a_ii|
这个公式指定了H-矩阵必需遵守的一个弱对角支配性质：矩阵A的对角线元素必须要大于其行和的绝对值之和。如果矩阵满足此性质，则可以继续使用该方法，否则矩阵不是H-矩阵。
2. Gershgorin Circle Theorem
Gershgorin定理是通过矩阵的特征值和矩阵的特征圆来判断矩阵是否是H-矩阵。具体原理如下：
对于一个n×n的矩阵A，记r_i=∑j≠i |a_ij|，D_i为以a_ii为圆心，r_i为半径的圆。则矩阵A是H-矩阵当且仅当所有的特征圆都在实数轴的左半平面内（包括虚轴），即所有圆心都在实数轴的左半平面内，且没有任何两个圆相交。
这两种方法可以相互验证，当矩阵满足上述两种方法的任意一种时，则该矩阵为H-矩阵。
Schur补研究
Schur补是指将一个大的矩阵分块为几个小的矩阵，则由剩余元素构成的子矩阵称为Schur补，Schur补在科学计算中有广泛的应用。
矩阵的Schur补可以表示为S=A_11−A_12A_22~⁻¹A_21，其中A_11是一个r×r的子矩阵，A_12和A_21是分别由r×(n−r)和(n−r)×r的子矩阵，而A_22是一个(n−r)×(n−r)的子矩阵。
对于一个n×n的H-矩阵A，其Schur补矩阵S也是H-矩阵。这个结论表明，在求解很大的矩阵时，可以将其分块，并且只需要计算部分矩阵就可以得到矩阵的主要特征，这大大提高了矩阵计算效率。
同时，还可以利用Schur补对于矩阵的特征值进行研究。根据Schur补矩阵的定义，对于一个n×n的H-矩阵A和其Schur补矩阵S，它们的特征值有如下的关系：
λ(A)∩λ(S)=0，λ(A∪S)=λ(A)∪λ(S)。
即H-矩阵的特征值可以通过Schur补的特征值得到，并且它们之间的交集为0。
结论
本文主要介绍了H-矩阵的判定方法和Schur补研究。H-矩阵在科学计算中具有广泛的应用，本文介绍的两种方法可以相互验证，当矩阵满足上述两种方法的任意一种时，则该矩阵为H-矩阵。同时，Schur补可以进一步提高矩阵计算的效率，并且Schur补对于矩阵的特征值进行研究也提供了新的思路。