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2025/1/31
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第十五章 电路方程的矩阵形式
§15―1 割集
§15―2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
*§15―3 矩阵A、Bf、Qf之间的关系
§15―4 回路电流方程的矩阵形式
§15―5 结点电压方程的矩阵形式
*§15―6 割集电压方程的矩阵形式
*§15―7 列表法
第十五章 电路方程的矩阵形式
2
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q；
2. 掌握复合支路的概念；
3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程；
重点
难点
割集电压方程的列写。
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§15-1 割集
3
1. 定义
连通图G的一个割集是G的一个支路集合，如果
①把这些支路移去，将使G(恰好)分离为两个部分，
②但是少移去其中一条支路，G将仍是连通的。
(a，d，f )这个支路集合就是G的一个割集。
a
d
f
c
e
Q1
a
d
f
b
c
e
Q2
Q3
Q4
(a，b，e )
(b，c，f )
(c，d，e )
显然，对右图，汇集于同一结点的支路都是G的一个割集。
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全移，G一分为二；少移一条， G连通。
4
(b, d, e, f )是
(a, d, e, f )不是G的割集！
Q5
a
d
f
b
c
e
a
d
f
b
c
e
Q6
Q7
a
d
f
b
c
e
a
d
f
b
c
e
Q8
(a, e, c, f )是
(a, b, c, d ) 也是
原因：少移去e，G仍为两部分。
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(a, b, c, d ,e )不是G的割集！
5
原因：全移，G被分为三部分。
2. 割集的判断与确定
直观方便的方法是闭合面加定义。
a
d
f
b
c
Q9
注意：有些割集可能不易用与闭合面相切割的方法表示。
a
b
e
c
d
f
无法作闭合面判断割集(a, b, c, d)。
Q
a
b
c
d
e
与Q相切割的支路集合(a, b, e) 不是割集。
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3. 独立割集和基本割集
6
KCL适用于任一闭合面。
属同一割集的所有支路电流也满足KCL。
对于一个连通图 G，总可以列出与割集数量相等的KCL方程。但它们不一定线性独立。
(1)独立割集
与一组线性独立的KCL方程相对应的割集，称为独立割集。
a
b
c
d
f
Q1
Q2
Q3
Q4
当割集的所有支路连接于同一结点时，割集的KCL变为结点的KCL。
对较大规模的电路，用观察法选择一组独立割集是困难的。
借助于树，就比较方便。
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(2)独立割集的确定
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选一个树，一条树支与相应的连支可以构成一个割集。
由一条树支与相应的连支构成的割集叫单树支割集。
对于具有n个结点b条支路的连通图，树支数为(n-1)条。
这(n-1)个单树支割集称为基本割集组。
bt
l1
l2
l3
Q
独立割集组不一定是单树支割集。就象独立回路不一定是单连支回路一样。
而基本割集组是独立割集组。
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树支为2,3,4,6时的基本割集组
8
树支为5,6,7,8时的基本割集组。
1
2
3
4
5
6
7
8
Q1
Q1 (1,2,5,7,8)
1
2
3
4
5
6
7
8
Q2
Q2 (1,3,5,8)
1
2
3
4
5
6
7
8
Q3
Q3 (1,4,5)
Q4
Q4 (5,6,7,8)
1
2
3
4
5
6
7
8
Q1
Q2
Q3
Q4
同一个图，有许多不同的树，因此能选出许多不同的基本割集组。
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§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
9
1. 关联矩阵的特点
描述结点与支路关联的矩阵。
是一个(n×b)阶的矩阵。
Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
-1
-1
+1
0
0
0
0
0
-1
-1
0
+1
1
i1
2
i2
3
i3
4
i4
5
i5
i6
6
①
②
③
④
+1
0
0
+1
+1
0
0
+1
0
0
-1
-1
(1)Aa的元素定义
ajk= +1，支路k与结点j关联，且方向背离结点；
ajk= -1，支路k与结点j关联，且方向指向结点；
ajk= 0，支路k与结点j无关联。
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(2)降阶关联矩阵A
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划去Aa中任意一行所得到的(n-1)×b阶矩阵。
A =
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
-1
-1
+1
0
0
0
0
0
-1
-1
0
+1
+1
0
0
+1
+1
0
0
+1
0
0
-1
-1
1
i1
2
i2
3
i3
4
i4
5
i5
i6
6
①
②
③
④
被划去的行对应的结点可以当作参考结点。
a
提示
给定A可以确定 Aa，从而画出有向图。
若以结点 4 为参考结点，把式中的第 4 行划去，得 A
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