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全国重点高中提前招生真题过关（九）【教师版】
（与圆有关的综合问题）
（总分:120分 时间:120分钟）
一、选择题（每题4分，共32分）
1.（黄冈中学预录）已知 为圆锥的顶点，为圆锥底面圆上一点，，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿将圆锥侧面剪开并展平，所得的侧面展开图是（ ）
【答案】D
【解析】蜗牛绕圆锥侧面舟行的最短路线应该是一条线段，因此选项AB错误，又因为蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点处，那么如果将选项C，D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线上的点应该能够与母线上的点重合，.
2.（2020-全国联赛初赛）如图，已知三个等圆有公共点，点是这些圆的其他交点，则是的（ ）

【答案】C
【解析】，则，所以，，.
3.（2021-成都）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】正六边形的外角和为每一个外角的度数为正六边形的每个内角为，正六边形的边长为，故选D.
，于点，点在线段上，点在的延长线上，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是的直径，...故选B.
5.（华师一胕中自主招生）如图，在中，，经过点与边相切的动圆与分别交于点，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，，3.，，有最小值..故选B.
，已知直线与轴，轴分别交于两点，是以为圆心，2为半径的圆上一动点，连接，则面积的最小值是（ ）

【答案】C
【解析】如图，过作于点，连接，由題意知.，则由三角形面积公式得，
圆上点到直线的取小距离是面积的最小值是.
7.（2021-金华）如图，在Rt中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设，则①，取的中点为，连接，
是直角三角形，， 圆心在和的垂直平分线上，为圆心，连接，则为半径，由勾股定理得②.
由①②得，故选.
8.（2021-连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，则周长的最小值是（ ）

【答案】B
【解析】的面积为，则圆的半径为，，由正方形的性质，知点是点关于的对称点，如图，连接，过点作，且使，连接交于点，取，连接为所求线段，理由:.且，则，
故的周长为最小，则，则的周长的最小值为，故选B.
二、填空题（每题4分，共32分）
9.（湖北罗田一中预录）四边形内接于圆为圆的直径，且，则四边形的面积为＿＿＿＿＿.
【答案】4
【解析】，又为的直径，则，，故，又.
10.（2021-本溪）如图，是半圆的直径，为半圆的中点，，反比例函数的图象经过点，则的值为＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设半圆圆心为，连接，过作于点，交于点，如图，.
为半圆的中点，，又，在中，，，
，Rt中，，
，把代人得，故答案为.
11.（黄冈中学自主招生）如图，在中，，以为直径的分别交两边于点，则的面积为＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】如图所示，连接和，因为为直径，所以，即，因为，“等腰三角形三线合一的性质”可得
.在中，根据勾股定理得，，，所以，则，.
12.（安徽蚌埠二中自主招生）如图，在Rt中，，，将以点为中心逆时针旋转，使点旋转到边延长线上的点处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】根据旋转变换的性质，，阴影面积.
13（湖北麻城一中预录考试）如图，内接于，直线交于点是的中点，如果，且，则＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】..
，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，则圆的半径为＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】如图，由题意可知圆心应该在下面两个正方形的相交边上面，且设定圆心与上面正方形的距离为，则，，故，则可得到方程
【答案】，
【解析】解得，所以能将其完全覆盖的圆的最小半径为.
15.（2021-广东）在中，.点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】如图①，根据（定弦定角），作的外接圆，连接，交于（图②），此时的值最小，根据，得，因此，作，可得，所以，所以，所以.
16.（2020-黄冈中学预录）如图，的半径为3，点在上运动，为矩形，与交于点，则的最小值为＿＿＿＿＿.
【答案】16
【解析】如图，连接.
四边形是矩形，，，的值最小时，的值最小，，
的最小值为的最小值为的最小值为16，故答案为16.
三、解答题（每题7分，共56分）
①，为第一象限内一点，过两点的交轴正半轴于点，交轴正半轴于点.
（1）求证:平分;
（2）作交弦于点.
①若，求的长;
②若.，把沿轴翻折，得到（如图②），求的长.
（1）证明:四边形是的内接四边形，
，
，即平分：
图（1） 图（2）
（2）解:（1）过点作交延长线于点，如图（1），易证，易证四边形是正方形，，设，则，由正方形对边相等可得;（2），，在Rt中，，将绕点逆时针旋转至，（2），，在等脜Rt中，，在R⿺中，..
18.（湖北省黄冈市蔪春一中提前招生）如图所示，在平面直角坐标系中，与轴交于（且两点，与轴相切于点.
（1）求点的坐标和的值;
（2）求过点的抛物线解析式;
（3）若抛物线顶点为，判断点与的位置关系，并求出的外接圆半径.
解:（1）连接，过作轴，垂足为.
.
在Rt中，，解得（舍）;（2），当时，;
（3）抛物线顶点坐标为，，利用，则，外接圆半径为.
，已知直线，与轴交于点，与轴交于点，以为直径的交于另一点，把弧沿直线翻转后与交于点.
（1）当时，求的长;
（2）是否存在实数，使沿直线把弧翻转后所得的弧与相切?若存在，请求出此时的值;若不存在，请说明理由.
解:（1）如图所示，连接，，易得，，由切割线定理，，，故;
（2）假设存在实数使沿直线䣋转后所得弧与相切，，，此时，，故存在，使得沿直线翻转后所得弧与相切.
20.（黄冈中学自主招生）如图，锐角中，的对边分别是，，使，且以为圆心，为半径的圆与以为圆心为半径的圆相外切.
（1）求的度数;
（2）设，求的值;
（3）若关于的方程的两个根满足，求的面积.
解:（1），，.，;
（2）过点作的高在RI中，，.
在Rt中，解得
（3）:;得，代人上式得.
，已知抛物线与轴相交于两点，与轴的正半轴相交于点，过三点的与轴相切于点.
（1）请求出点坐标和的半径;
（2）请确定抛物线的解析式;
（3）为轴负半轴上的一个动点，，求的值（先画出符合题意的示意图再求解）.
解:（1）是的切线，是的割线.，即，①，连接，，四边形为矩形，故.，又，故，即的半径长为;
（2）抛物线的解析式是;
（3）根据题意，所以和相似有两种情况:（1）和对应，如图①，此时是的直径，则Rt，，即RtRt，即.;（2）和对应，如图②，此时是的直径，所以直线过点，，
直线的解析式是，
点的坐标为，由得.
22.（黄冈中学预录）如图，已知矩形与三边都相切，，沿矩形的边逆时针方向匀速运动，点的运动速度分别是，当点到达点时停止运动，（单位:.
（1）求证:;
（2）设，当与相似时，求出的值;
（3）设关于直线对称的图形是，当和分别为何值时，点与圆心恰好重合，求出符合条件的的值.
（1）证明:作于点，设与边切于点，连接与边切于点，四边形是矩形，四边形是矩形.，.
是圆心且;
（2）解:根据题意设，.，则有①，②或（舍）.综上所述，的值为或;
（3）解:设与都相切点，连接，且，又矩形，，垂直平分与关于直线对称，垂直平分与重合，.当和时，点与圆心恰好重合.
23.（2020-华师一中）已知矩形中，.点是边上一动点，连接，以为直径作，交于点，过点作于于点.
（1）当直线与相切时，求的长;
（2）当时，求的长;
（3）若线段交于点，在点运动过程中，能否成为等腰直角三角形?如果能，求出此时的长，如果不能，说明理由.
（1）如图①，，为切点，.又为的中点，，为直径，四边形是矩形，;
（2）.，解得或.
（3）分两种情况，（1）当点在点的上方时，如图②.连接与交于点，作于点，设，在中，，，则，可证.，即，得或（舍），.
（2）当在点的下方时，如图③，连接，，设，可证，即，得或（舍去），.综上可知或.
全国重点高中提前招生真题过关（九）【学生版】
（与圆有关的综合问题）
（总分:120分时间:120分钟）
一、选择题（每题4分，共32分）
1.（黄冈中学预录）已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆上一点，，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿将圆锥侧面剪开并展平，所得的侧面展开图是（）
2.（2020–全国联赛初赛）如图，已知三个等圆有公共点，点是这些圆的其他交点，则是的（）

3.（2021-成都）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）
A. B. C. D.
，于点，点在线段上，点在的延长线上，，则（）
A. B. C. D.
5.（华师一胕中自主招生）如图，在中，，经过点与边相切的动圆与分别交于点，则线段长度的最小值是（）
A. B. C. D.
，已知直线与轴，轴分别交于两点，是以为圆心，2为半径的圆上一动点，连接，则面积的最小值是（）

7.（2021-金华）如图，在Rt中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，，则的值是（）
A. B. C. D.
8.（2021-连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，则周长的最小值是（）

二、填空题（每题4分，共32分）
9.（湖北罗田一中预录）四边形内接于圆为圆的直径，且，则四边形的面积为＿＿＿＿＿.
10.（2021-本溪）如图，是半圆的直径，为半圆的中点，，反比例函数的图象经过点，则的值为＿＿＿＿＿.
11.（黄冈自主招生）如图，在中，，以为直径的分别交两边于点，则的面积为＿＿＿＿＿.
，在Rt中，，，将以点为中心逆时针旋转，使点旋转到边延长线上的点处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是＿＿＿＿＿.
13（湖北麻城一中预录考试）如图，内接于，直线交于点是的中点，如果，且，则＿＿＿＿＿.
，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，则圆的半径为＿＿＿＿＿。
15.（2021-广东）在中，.点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为＿＿＿＿＿。
16.（2020–黄冈中学预录）如图，的半径为3，点在上运动，为矩形，与交于点，则的最小值为＿＿＿＿＿。
三、解答题（每题7分，共56分）
①，为第一象限内一点，过两点的交轴正半轴于点，交轴正半轴于点.
（1）求证:平分;
（2）作交弦于点.
①若，求的长;
②若.，把沿轴翻折，得到（如图②），求的长.
18.（湖北省黄冈市蔪春一中提前招生）如图所示，在平面直角坐标系中，与轴交于（且）两点，与轴相切于点.
（1）求点的坐标和的值;
（2）求过点的抛物线解析式;
（3）若抛物线顶点为，判断点与的位置关系，并求出的外接圆半径.
，已知直线，与轴交于点，与轴交于点，以为直径的交于另一点，把弧沿直线翻转后与交于点.
（1）当时，求的长;
（2）是否存在实数，使沿直线把弧翻转后所得的弧与相切?若存在，请求出此时的值;若不存在，请说明理由.
20.（黄冈中学自主招生）如图，锐角中，的对边分别是，，使，且以为圆心，为半径的圆与以为圆心为半径的圆相外切.
（1）求的度数;
（2）设，求的值;
（3）若关于的方程的两个根满足，求的面积.
，已知抛物线与轴相交于两点，与轴的正半轴相交于点，过三点的与轴相切于点.
（1）请求出点坐标和的半径;
（2）请确定抛物线的解析式;
（3）为轴负半轴上的一个动点，，求的值（先画出符合题意的示意图再求解）.
22.（黄冈中学预录）如图，已知矩形与三边都相切，，沿矩形的边逆时针方向匀速运动，点的运动速度分别是，当点到达点时停止运动，（单位:.
（1）求证:;
（2）设，当与相似时，求出的值;
（3）设关于直线对称的图形是，当和分别为何值时，点与圆心恰好重合，求出符合条件的的值.
23.（2020-华师一中）已知矩形中，.点是边上一动点，连接，以为直径作，交于点，过点作于于点.
（1）当直线与相切时，求的长;
（2）当时，求的长;
（3）若线段交于点，在点运动过程中，能否成为等腰直角三角形?如果能，求出此时的长，如果不能，说明理由.