2023年命题与证明知识点总结.docx

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知识构造梳理
二、知识点归类
知识点一 定义的概念 对于一种概念特性性质的描述叫做这个概念日勺定义。如："两点之
间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
注意：定义必须严密的，一般防止使用模糊不清的语言，例如“某些”、“大概”、“差不多”等 不能在定义中出现。
知识点二命题的概念
论述一件事情日勺句子(陈说句)，要么是真的，要么是假日勺，那么称这个陈说句是一种命
如“你是一种学生”、“我们所使用是教科竹是湘教版欧I”等。
注意：(1)命题必须是一种完整的句子。
(2)这个句子必须对某事情作出肯定或者否认的判断，二者缺一不可。
知识点三命题的构造
每个命题均有题设和结论两部分构成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出时事
训练
L把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“假如……，那么……”的形式是
2 .命题"假如"=〃，那么〃=匕" 口勺逆命题是
.命题“三个角对应相等於I两个三角形全等”是一种 命题（填“真”或“假”）.
.如图，已知梯形ABCD中,AD〃BC, AD = 3,
AB=CD=4, BC = 7,则 NB=.
.用反证法证明“b〃b2”时，应先假设
.下列语句中，不是命题H勺是（）
°
D・作线段AB
.下列命题是真命题日勺是（）


.下列命题H勺逆命题是真命题的是（）
〃=+ +
则X>1
9,下列条件中，不能鉴定两个直角三角形全等的是（）


. ZkABC 口勺三边长。也c满足关系式（a-/?）S-c）（c-a） = O,则这个三角形一定是（ ）




.如图，点E在正方形ABCD区I边AB上，若EB的|长为1,
EC日勺长为2,那么正方形ABCD/、J面积是（
A. a/3
B. >/5
12、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一种反例阐明.
（1）有一种角是60。的等腰三角形是等边三角形.
（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.
项。一般地，命题都可以写出“假如……，那么
”的形式。有的I命题表面上看不具有“假
如—那么——"的J形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“假如两个 角是对顶角，那么这两个角相等二
例 把下列命题改写成“假如一，那么——”的形式，并指出条件与结论。
1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线
知识点四真命题与假命题
假如一种命题论述的事情是真的，那么称它是真命题；假如一种命题论述的事情是假的，那么 称它是假命题
注意：真、假命题的I区别就在于其与否是对的J的，在判断命题的I真假时，要注意把握这点。
知识点五证明及互逆命题的定义
1、从一种命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：证明一种命题是假命题的措施是举反例，即找出一种例子，它符合命题条件，但它不满 足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。
2、一种命题的条件和结论分别是另一种命题的结论和条件，这两个命题称为互逆口勺命题，其 中的一种命题叫作另一种命题日勺逆命题。
注意：一种命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题与否为真，需要详细问题详细分析。
例说出下列命题H勺逆命题，并指出它们H勺真假。
（1）直角三角形口勺两锐角互余;
（2）全等三角形的对应角相等。
命题
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
表达
若p则q
若q则p
若p坝IJ q
q 则 p
真
可真可假
可真可假
真
假
可真可假
可真可假
假
KJ"
可真可假
真
真
可真可假
可真可假
假
假
可真可假
类型一：
例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
（1）对顶角相等；（2）画一种角等于已知角； （3）两直线平行，同位角相等；
（4）。，以两条直线平行吗？ （5）鸟是动物；（6）若白* =4,求以的值；（7）若4'=/，则7=8.
思绪点拨:通过本题熟悉命题的I定义
解析：句子⑴⑶⑸⑺ 对事情作了判断，句子（2）（4）（6） ⑴⑶⑸判
断是对时时， （7）判断是错误啊.
【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？
（1）若aVb,则一占 <一许 （2）三角形日勺三条高交于一点；（3）在AABC中，若AB>AC,则NC
>ZB 吗？
（4）两点之间线段最短；（5）解方程一一 2工- 3二 0； （6） 1+2^3.
【答案】（1） （2） （4） （6）是命题，（3） （5）不是命题.
类型二：
例、指出下列命题日勺条件和结论，并改写成“假如……那么……”的形式:
(1)三条边对应相等的两个三角形全等； (2)在同一种三角形中，等角对等边；
(3)对顶角相等； (4)同角的余角相等；
(5)三角形的内角和等于180。； (6)角平分线上时点到角时两边距离相等.
思绪点拨：找出命题的条件和结论是本题日勺难点，因为命题在论述时规定通顺和简洁，把命题 中日勺有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略日勺词或句子添加上去.
解析：(1) “三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最佳把“两个三角形”这句 话添加上去，即命题日勺条件是“两个三角形日勺三条边对应相等。结论是“这两个三角形全等可以 改写成“假如两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”.
(2) “等角对等边含义“是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“假如在同一种三角 形中有两个角相等，那么这两个角所对日勺边也相等。”值得注意的是，命题中包括了一种前提条件: “在一种三角形中“，在改写时不能遗漏.
(3)这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.这个命题可以改写成“假如 两个角是对顶角，那么这两个角相等。
(4)条件是“两个角是同一种角日勺余角”，结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“假如 两个角是同一种角的余角，那么这两个角相等
(5)条件是“三个角是一种三角形的三个内角”，结论是“这三个角附和等于180。”.这个命题 可以改写假如“三个角是一种三角形欧j三个内角，那么这三个角欧।和等于180。”；
“假如一种点在一种角的平分线上，那么这个点到这个角口勺两边距离相等。”
总结升华：注意原命题中省略的I重要内内容一定要补充完整。
【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否认式，得到新的命题，并判断这些命 题的真假.
（1）对顶角相等； （2）两直线平行，同位角相等；
（3）若a=0,则ab=O； （4）两条直线不平行,则一定相交；
【答案】⑴对顶角相等（真）；相等的角是对顶角（假）；不是对顶角不相等（假）；不相等日勺角不是 对顶角（真）.
（2）两直线平行，同位角相等（真）；同位角相等，两直线平行（真）；
两直线不平行，同位角不相等（真）；同位角不相等，两直线不平行（真）.
（3）若 a=0,则 ab=O（真）； 若 ab=O,则 a=0（假）； 若 a#）,则 ab,O（假）； 若 abRO,则 a/）（真）.
（4）两条直线不平行，则一定相交（假）；两条直线相交，则一定不平行（真）；
两条直线平行，则一定不相交（真）； 两条直线不相交，则一定平行（假）.
【变式2】判断正误:
⑴假如两个角是对顶角，那么这两个角相等。 （）
⑵假如两个角相等，那么这两个角是对顶角。 （）
⑶假如两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 （）
（4）假如两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。 （）
⑸假如两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。 （）
（6）假如两个角附和是180。，那么这两个角是邻补角。 （）
⑺对顶角的角平分线在同一条直线上。 （）
⑻假如两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。
【答案】：（1）4; （2）x； （3）x； （4）x； （5）＜； （6）x； （7）4；⑻x。
注：判断题假如是对时的命题需要加以阐明或论证，找出根据，假如是错误的命题，只要举出 一种反例即可。
知识点六公理与定理
数学中有些命题的对的性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原 始根据，这样的真命题叫做公理。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假, 已经判断为真的命题称为定理。
注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的根据，定理是需要证明；
（2）定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。
例填空：（1）同位角相等，则两直线； （2）平面内两条不重叠时直线的位置关 系是;（3） 四边形是平行四边形。
知识点七互逆定理
假如一种定理的I逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定 理。
注意：每个命题均有逆命题，但并非所有的定理均有逆定理。如：“对顶角相等”就没逆定理。
知识点八证明的含义
从一种命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而鉴定该命题为真，这 个过程叫做证明。推理证明的必要性：判断猜测的数学结论与否对的，仅仅依托经验是不够区I, 必须一步一步，有理有据地进行推理。
证明命题的步骤：由题设出发，通过一步步的推理最终推出结论（书证）对的的过程叫做证明。 证明中日勺每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、
公理，在此此前学过时定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题日勺
条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过
程）
证明的四个注意
⑴注意:①公理是通过长期实践反复验证过的,不需要再进行推理论证而都承认H勺真命题:
②公理可以作为鉴定其他命题真假的根据.
题作为定理,
体字排印日勺.
（3）注意:
⑵注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择某些最基本最常用的真命
，在教科书中录用黑
在几何问题欧J研究上，必须通过证明，才能作出真实可靠的判断
行，同位角相等”这个命题，
，那么就可以确信任意两平行直线的同位
角相等.
（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.①论据必须是真命题，如；定 义、公理、已经学过时定理和已知条件；②论据日勺真实性不能依赖于论证日勺真实性；③论据应 是论题的充足理由.
：两直线平行，内错角相等。
已知：a〃b,c是截线 求证：Z1 = Z2
分析：要证N1 = N2
只要证N3=N2即可，因为N3与N1是对顶角，根据平行线日勺性质，易得出N3=N2
证明：•二a〃b（已知）
・・・N3=N2（两直线平行，同位角相等）
・・・ N 1 = /3（对顶角相等） J N 1=/2（等量代换）