线性代数试题集与答案解析(四).docx

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习题一 1-5 6-10
利用对角线法则计算下列三阶行列遣
1 1；| 1M3
a b c
=(2) b c a;=
cab
1 A徉一
占 3’・》+.「
(4) 1/ 幻 u W
(1)
201
I
解1-4—1
-183
=2 <(-4)x 3+0x(-1)x(-l')+lx 1x8
—0x1x3-2x(-1)x8—1x(—4)x(-1)
=-24+8+16-4=-4+
(2)
a b c
解 b c a
c a b
-acb+lxK.+dya-bbb—aaa-ccc
=3<?E—f户—
(3)
a b c
必r"广
—b cbc^— cb2
二("一们(》一C (匚一Q)十
(4)
x 】-E-
解 y x+y x
^+y 工 y
=x(.y勺力％(gy)+3b*Y-3+j・)W
。打)一.『—3 j 尸 J—V—J?

2-按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序 数：
(1)1 2 3 4;
0)4 13 2;
3 4 2 1;
2 4 1 3:
1 3・..(2«-1)24..・(2用;
13 … (由—1)(由)(由―2)…二
(1)
解逆序数为0
(2)
解 逆序数为4: 41,43, 42,32.
(3)
解 逆序数为5: 3 2・3L4 2,4,2L
(4)
解逆序数为3: 2 L 4 1. 4 3.
(5)
解逆序数为耳少：
32（1 个）
5 2, 5 4（2 个）
二亍4广6（3个）
爵 爵 磨 摩
（2n-l）2, 51）4,如1）6, •….51）52）⑺一1 个） （6）
解逆序数为//（//-1）:
2（14）
2. 5 4 （ 2 个）
（*1）2, （*1）4, 51）6, • • •. （ b—l'）（M一力⑵—1 个）
2（1 个）
4（.2 个）
fK * 引 引 **
（m）2, （2«）4, （%）6, •（2m）（2m-2） （m-1个）
3写出四阶行列式中含有因子围昭3的项・
解 含因子1功3的项的一般形式为
I
（一 1 ））71 宙烈了3/场.
其中”是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42. 所以含因子“11叱的项分别是
（一1）>11%阳?2<744二（一1）'苗1任衬％"二—〃1心"32^4牛
（一1 ）>了11%3<734&4『（—1）粉11"溟饥”4『11尘3"34打修
:
O
3 0
(3)
C
7c3
2十勺
q
4 -
+ *C
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-b c e
-adf
b -c e b c -e
-cib oc (圮 M 一 cd de bf cf -ef
1 ,
1 -Acibcdef.
(4)
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- -
oT 0 0
- .1 c TIL 7nr- 一o-H T o o一
“。-I +<7-1。A
0-1 T^u "CT A-
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=abcd+ab+cd+acI+[ +
胪肌1
对十1
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明
证
5 .证明:
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勺—q \cP ab-ci1 h2 -cP
如 b—。2b— 2a
乌—勺10 U
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LtJ — 1 以1 —
=(cf-h)3
ctx+by ay+bz az+bxx 丁 二
(2 ) ay+bz ciz+bx ax+by-(eP+lj^}y s .t；
az+bx cvc+by q"星
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+by ay+bz az +b\ err 十人二 az cr\by az+bx ax+by ay+bz
x ay+bz/ 7Z+bx y az+bx cix+by z ax+by ay+bz
t ay+bz /7Z+by +b 二。二 +bx cfs+hy y ay+by m~+bz
— Cl
I ay+bz 3 az+bx x ax+by y
+b2
Iaz+bx ax+by ay+bz
- y「- .7 +b3 y 2 .7 y z x y
y y 二
二（/户+胪'）「
a2
b2
（C4—C3.。厂一匚1 得）
("十 IV(〃+?V (U十3V 0 + 1)2 (ya 0+3)2 (f (c+夺 W+3V d2(』+l)2 0+2)2 0十3》
cP 2/7+1 2/7+3 2/7+5 徉 ”+l ”+3 2/，+5 c2 2c+l 2c+3 2c+5 d2 2d+l 2d+3 2d+5
cP 2/7+1
二。.
(4)
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=(ci~b )(ci~c )g— d)U_ic )( I，一c7)( c—c 7)( t/H- /?+c+c 7).
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0 c(c-b)(c+b+d) d(d-b)(d+b+d)
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证明用数学归纳法证明.
当7尸2时,功二r "\二寸+缶T + 匚巧 .孔I 1-4|
I
假设对于（7L1）阶行列式命题成立,即
Z）广[二/ l~h7[ .1毋 2 十 +f 了毋-1，
则玖按第一列展开，有
—1 0 …
1严士 二二
11 …x-1
=1D胡_[+「加】+ ♦ +"加_[.下+<7鼻 +
因此，对于K阶行列式命题成立.
6+设77阶行列式华det（㈤），把3上下翻转、或逆时针旋转
90%或依副对角线翻转，依次得
弓1…%
"m S
"湖'''%!
牛
•1 嚣弟 m m m mam
，D疔
*弟摩置*4 -fi il-
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*弟摩弟 鼻 a： a> ii-
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证明耳二3 二（.-1）亍 D、D0 •
证明因为L^detC/n所以
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同理可证
戒以一 1） 牛―
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• (—1) ? IX=( -!') 3 D •
冲一1）
抑伊一 L）
-1） 1）
r 二（—IL 企二（一1）亍（―1）亍 g（一H牛”
己计算下列各行列式（刀上为k阶行列式）：
C7 1
（1）2二".其中对角线上元素都是a未写出的元素
1 a
都是0；