线性代数考试练习题带答案(3).docx

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一、单项选择题（每小题3分，共15分）
n矩阵，齐次线性方程组AX 0仅有零解的充分必要条件是A的（A ）.
（A）列向量组线性无关，（B）列向量组线性相关，
（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关.

, ,线性无关，而, ,
线性相关，则（C ）。
(A)
必可由, ,
线性表出，
（B ） 必不可由',线性表出，
(C)
必可由, ,
线性表出，
（D ） 必不可由, ,线性表出.

f(x ,x ,x )
123
(1)X2
1
X21 X2>
23,当满足（C ）时，是正定二次型.
(A)
1.
；
(B)0；
(C)1;(D )1.
（A ）;
（A）都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B）所对应的行列式的值都等于1;
（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵
「
A.
1
2,, n
, 22
• • •
线性无关，则（C ）
,,
3n 1
必线性无关；
n

为奇数，
则必有
1
• • •
,,,,线性相关;
223n 1n n1
若n为偶数，
以上都不对。
则必有
1
，，，，线性相关;
223n 1n n1
• • •
、填空题（每小题3分，共15分）
6.
实二次型f x ,x ,x
t反 4x x
1 1 2
x2
2
1
0
2
2
3
0
7.
设矩阵A 0
4
0
0
3
0
,则A 1
X2秩为2,
设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，已知
|A|5 ,则AA *的特征值为
9.
行列式
a b
a b
1
a b
1
a b a b
21 3
a b a b
22 3
a b a b
23 3
— .
1 0 2
10.
设A是4 x
3矩阵，R
(A) 2,若B 0 2 0，则 R AB = 0 0 3
a b a b a b
11 1 2 1 3
11-求行列式D
a b a b a b
的值。
2 1 2 2 2 3
a b a b a b
3 1 3 2 3 3
1 1 1

1 1 1 ,矩阵X满足A*X
1 1 1
A 1 2X ,求 X。
0
X
X
13.
14.
1
3x
i
2x
i
x
i
已知］1,2,2、
求线性方程组
2
2x
2
3x
2
4x
2
2x
4
X
3
X
3
X
3
X
4
X
4
3x
4
3, 6, 6T ,
:的通解。
1
1,,。，3,
3
。，4, 2 t ,求出它的 4
三、计算题（每小题10分，共50分）
秩及其一个最大无关组。
设A为三阶矩阵，有三个不同特征值，，，，，依次是属于特征值
123123
,,，的特征向量，令若A3 A，求A的特征值并计算行列式
123123^
|2A 3E .
四、解答题（10分）
1 0 0
已知 A 0 3 2 ,求 Aio
0 2 3
五、证明题（每小题5分，共10分）
设是非齐次线性方程组AX b的一个特解，，，，为对应的齐次线性方程
12r
18.
一
1.
2.
A.
B.
C.
D.
3.
(
A.
C.
4.
A.
C.
D.
5.
A.
组AX 0的一个基础解系，证明：向量组
已知A与A E都是n阶正定矩阵，判定E A 1是否为正定矩阵，说明理由.
线性代数期末试卷（本科A）
、单项选择题（每小题3分，共15分）
设A,B为n阶矩阵，下列运算正确的是（）。
（AB ）kAkBk；B. A| A ;
C. A2B2（AB） （AB）; A 可逆，k 0,则（kA）1 k 1A 1;
下列不是向量组「2，，s线性无关的必要条件的是（）。
，，，都不是零向量；
1 2s
，，，中至少有一个向量可由其余向量线性表示；
12s
，，，中任意两个向量都不成比例；
12s
，，，中任一部分组线性无关；
12s
设A为m n矩阵，齐次线性方程组AX0仅有零解的充分必要条件是A的
）。
列向量组线性无关；；
行向量组线性无关；；
如果（），则矩阵A与矩阵B相似。
|A| |B|；B. r A r B ;
A与B有相同的特征多项式；
二次型 f (x，x，x) ( 1)x2 X2
1 2 3 1 2
1； B. 0；
n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同；
1 x2 ,当满足（）时，是正定二次型。 3
1；D. 1。
二、填空题（每小题3分，共15分）
3 0 0
设 A1 4 0 ,则 A 2E 1 =；
0 0 3
2 1A A
设A（［j 1,2）为行列式D c |中元素a的代数余子式，则12
ij
3 1
i j
A
21
A
22
1 0 02 0 1 1 0
0
1 01 4 0 0 0
1 =
5
2 0 11 0 3 0 1
0
9 .已知向量组，，线性无关，则向量组，, 的秩为；
123122313
，AE,且R A 3E RAE n,则A的一个特征值
三、计算题（每小题10分，共50分）
A
1 a 11
22 a 2
1
2
a 0 ,求 A|。
• • • nn n •.
nta
, B满足方程A2B ABE,试求矩阵B以及行列式|B| ,其中
1 0
2
A 03
0 o
2 0
1
1
1 1

0
11 ,且满足A2 AB
E ,其中E为单位矩阵，求矩阵B。
0
0 1
2x x x 1
1 2 3一 ，一 ， “ ，…，一、，，一
取何值时，线性万程组x x x 2无解，有唯一解或有无穷多解？当
123
4x 5x 5x 1
123
有无穷多解时，求通解。
（2,4,3）, （ 1, 11）,求该向量组的秩和一个
4
设］0,4,2, 2（1 1 0）, 3
极大无关组。
四、解答题（10分）
16.
已知三阶方阵A的特征值1,
2, 3对应的特征向量分别为
1
。其中:
3
1 1,1,1T , 2 1,2, 4T, 3 1,3,9T,
1,1,，。
（1）将向量用/ 2
线性表示；（2）求An ,「为自然数。
3
五、证明题（每小题5分，共10分）
设A是n阶方阵，且R A RAE n, A E ;证明：Ax 0有非零解。
已知向量组（I）,,的秩为3,向量组（II）,,,的秩为3,向量组（III）
1231234
,,,的秩为4,证明向量组，，， 的秩为4。
123512354
线性代数期末试卷（本科A）
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
满足下列条件的行列式不一定为零的是（）。
（A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;
（B）行列式中有两行（列）元素完全相同；
（C）行列式中有两行（列）元素成比例；
（D ）行列式中等于零的个数大于n2 n个.
（
）不满足A2
E
O
1 2
1
21211
(A)11 ；
(B) 1
1 ；(C)11 ；(D)21 *
,B为同阶可逆方阵，则（）。
AB BA ；(B)存在可逆矩阵P,使P MPB；
(C)存在可逆矩阵C，使C tAC B ；(d)存在可逆矩阵P,Q，使PAQB .
向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是()
错误!未找到引用源。均不为零向量；
错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关；
错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；
错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个 向量线性表示。
零为方阵A的特征值是A不可逆的()。
(A )充分条件；(B )充要条件；(C )必要条件；(D )无关条件；
二、填空题(每小题3分，共15分)
、 1 0 1
设 A 0 2 0，A2 2A =；
1 0 1
已知1,2,3 ,1，1，1 ,设 A t，则 a；
2 3
设A是三阶方阵，且|A|1,则|A* 2A 1| ；
已知向量组1,2, 3, 4,2,3,4, 5,3,4,5, 6,4,5,6, 7,则该向量组
1234
的秩为；
1
1 1
0
0

2
42 , B
0 2
0 ,且A于B相似，则
3
3 5
0 0
2
三、计算题(每小题10分，共50分)
1 a 111
i
11 a 11
11. D
n
(a a a 0)
1 2 n
11 21 a1
3 ...
111：••1 ・a
• • • • •
..•.• n
x 2x
12
12. x2
3x x
2x 0
3八
x3 0的解.
x3 0
3
①求的值；②证明|B
0.

B
2X ,
3 1
1
1
10
其中A 0 1
2 ,B
1
02
,求矩阵X。
0 0
4
2
02
1
1
3
4
3
3
5
4

,
,
,
1
2
2
2
3 3 4
2
3
3
4
2
5
3
1
0
1
的秩及最大
12
无关组。
0 0 1 x
……、，、一八 八 2
f(x,x,x) (x , x , x ) 3 0 0 x
1231233
4 3 0 x1
求二次型f(x,x,x)所对应的矩阵A; 。 123
四、解答题(10分)
16.(1,3, 3)t,(1,2, 0>,(1,a 2, 3a)T,
12
(1, b 2, a 2b)T ,试讨论a,b为何值时
3
不能用「尸3线性表示；
可由「尸3唯一地表示，并求出表示式；
可由1, 2，3表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
五、证明题(每小题5分，共10分)
设,,,错误!未找到引用源。是一组n维向量，证明它们线性无关的充
12n
分必要条件是：任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。
设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，且A,B可交换，A B可逆，证明：
• • •
A B A B 1是正交矩阵。
O
线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
设A,B为n阶矩阵，下列运算正确的是(D )o
A.(AB)kAkBk；B. | A| |A|;
B2(A B)A B); A 可逆，k0，则(kA)1 k 1A 1;
下列不是向量组1, 2, , s线性无关的必要条件的是(B)O
1, 2,,、都不是零向量；
1, 2, , s中至少有一个向量可由其余向量线性表示；
1, 2, , s中任意两个向量都不成比例；
1, 2, , s中任一部分组线性无关；
设A为m n矩阵，齐次线性方程组AX 0仅有零解的充分必要条件是A的
(A )o
A・列向量组线性无关；；
；；
如果(D )，则矩阵A与矩阵B相似。
A. |A| |B|；B. r A r B ;
A与B有相同的特征多项式；
n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同；
1 2 3 1 2
二次型f(x,x ,x ) (1)x2x21x2 ,当满足(C )时，是正定二次型.
D. 1。
A. 1;B. 0;C. 1;
二、填空题(每小题3分，共15分)
3
0
0
1
4
0 ,则 A 2E
0
0
3

(i, j 1,2)为行列式D ij
中元素a的代数余子式，则
ij
A
11
A
21
A
12
A
22
-1 ；
1
0
0
2
0
1
1
0
0
2
1
0
8.
0
1
0
1
4
0
0
0
1 =
=1
0
4 ;
;
2
0
1
1
0
3
0
1
0
3
5
0
已知向量组1, 2 , 3线性无关，则向量组］尸23 , 13的秩为2
n,则A的一个特征值
设A为n阶方阵，A E, 且R A 3E RAE
-3 ；
三、计算题(每小题10分，共50分)
1—11 1
a
i 1
0 a 0 0
0 0 a …0
0 0 0 •. a
• • • • •
- n i
1 -
a
i 1
an
an
n (n 1)
an 1
2
10分
, B满足方程A2B A B
试求矩阵B以及行列式|B|,其中
1 a
1
1
1
2
2 a
2
2
求 |A|。
11.
设A
a
0
,
P
n
•
n
•
…
•. n+a
• •
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1 a
1
1
• • •
1
a
0
0
解：
A|
0
2
2 a
• • •
2
2
0
a
0
• • •
0
n
n
• • •
• •
n+a
:n
0
0
• • • •. a