复变函数的极限和连续.ppt

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(一)复变函数的极限

是以任意方式
设函数 在 点的某邻域内有定义，若对于任意给定的 ，总存在有 ，使得当 时，就有 ，
则称 当 时以 为极限,并记为：
数学物理方法 第一章
五、复变函数的极限和连续
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性质
数学物理方法 第一章
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(二)复变函数的连续

设 在 点及其邻域内有定义，并且当 时，有：
则称函数 在 点连续
连续函数：
在区域B内各点均连续的函数称为在区域内B的连续函数
注意：连续的定义比实变函数要求更严格
数学物理方法 第一章
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数学物理方法 第一章
思考：
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导数
一、导数
导数的定义：设函数 是在区域B中定义的单值函数，对B内某一点 ，若极限
存在，并且与 的方式无关，则称 在 可导，并称这个极限值为 在 点的导数，记作：
数学物理方法 第一章
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例1：设
解:
例2：试证明
证明：
而
所以，该函数在复平面上不可导
数学物理方法 第一章
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微分: （ 或者 ）
称之为函数的微分
实变函数与复变函数导数和微分的定义形式相同，因此实变函数所有的导数和微分的公式法则可推广到复变函数
微分的定义
导数和微分的法则和公式
数学物理方法 第一章
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常用公式：
数学物理方法 第一章
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导数存在的必要条件：
在点 可导的必要条件是 存在，且满足C-R条件：
二、柯西——黎曼条件（C-R条件）
要解决的问题：给定一函数
如何判断 在点 是否可导？
数学物理方法 第一章
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证明：由导数的定义知， 以任何方式趋于零时，极限
存在，且有相同的极限值，即 与 的方式无关，使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形

设
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