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习题课 (一)
CONTENTS
01
一阶微分方程的
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02
解法及应用
第十二章
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一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量
代换因变量
代换某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
四个标准类型:
可分离变量方程,
齐次方程,
线性方程,
全微分方程
提示: (1)
例1. 求下列方程的通解
故为分离变量方程:
通解
方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,
令 y = u x ,化为分
离变量方程.
调换自变量与因变量的地位 ,
用线性方程通解公式求解 .
化为
方法 1 这是一个齐次方程 .
方法 2 化为微分形式
故这是一个全微分方程 .
例2. 求下列方程的通解:
提示: (1)
令 u = x y , 得
(2) 将方程改写为
(贝努里方程)
(分离变量方程)
原方程化为
令 y = u t
(齐次方程)
令 t = x – 1 , 则
可分离变量方程求解
化方程为
用凑微分法得通解:
两边乘积分因子
变方程为
例3.
设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件:
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(03考研)
(2) 求出F(x) 的表达式 .
解: (1)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
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