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第三章 数据拟合法
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主要知识点
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1、曲线拟合的概念
2、多项式拟合
3、直线拟合
函数插值问题回忆
设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：
插值问题：根据这些已知数据来构造函数
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
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曲线拟合的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的，准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？本节所介绍的曲线拟合就是解决这一问题的主要方法之一。
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曲线拟合的概念(续)
如图所示，常常需要从一组获得的数据点中，寻找变量与变量之间的变化规律．用几何方法来解释，就是用已知平面内的一组点，来确定一条曲线，使该曲线能在整体上刻画这组点的变化趋势而不需通过每个点，我们称这种方法为曲线拟合，所求出的曲线称为拟合曲线。
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曲线拟合的方法
将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据对 ， ，求连续变量的一个函数，它在 处误差为 ，使总体误差按某种算法达到最小．常用的三种准则是:
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曲线拟合的方法(续)
使得误差的最大的绝对值为最小，即
使误差的绝对值和最小，即
使误差的平方和为最小，即
由于准测（１）、（２）含有绝对值不便于处理，
通常采用准测（３），并称基于准则（３）来选取
拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。
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多项式拟合
一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟合，具体定义如下：
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多项式拟合(续1)
　设有给定的数据 ，假设其拟合函数形式为 ，
求系数 ，使得
取最小值．称 次多项式
为 次最小二乘拟合多项式(或 次最小平方逼近
多项式)。
特别地，当 时，称 为线性最小
二乘拟合。
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多项式拟合（续2）

容易看出 是系数 的 元二次多项式(二次型)，所以可以用多元函数求极值的方法求其最小值点和最小值。将 对 求偏导数得到驻点方程组：
，
即


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