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线段和差的最值问题解题策略
单人棋 2014年10月
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202X
线段和差的最值问题解题策略
两条线段和的最小值
两点之间，线段最短
两条线段差的最大值
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB最小
当Q运动到F时，QD－QC最大
线段和差的最值问题解题策略
当P运动到E时，PA＋PB最小
当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型
第二步，计算
感谢观赏
一、求两条线段之和的最小值
汇报人姓名
例1：在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值为 。
A
C
B
D
E
p
例2：△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，试在AB上找一点P，在BC上取一点M，使CP+PM的值最小，并求出这个最小值。
P6
P5
P4
P3
P2
P1
A
B
C
P
M
C/
规律总结
例1、例2中的最小值问题，所涉及到的路径，虽然都是由两条线段连接而成，但是路径中的动点与定点的个数不同，例1 中的路径为“定点→动点→定点”，是两个定点一个动点，而例2中的路径是“定点→动点→动点”，是一个定点两个动点，所以两个题的解法有较大差异，例1是根据两点之间线段最短求动点的位置，例2是根据垂线段最短找两个动点的位置。
二、求三角形周长的最小值
添加标题
01
PEPORT ON WORK
例3：已知二次函数图像的顶点坐标为C(3，-2)，且在x轴上截得的线段AB的长为4，在y轴上有一点P，使△APC的周长最小，求P点坐标。
A
C
B
A/
O
P
例4：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4，3)，B(2，0)，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点C(0，-2）的直线a与x轴平行。（1）求直线AB和抛物线，（2）设直线AB上点D的横坐标为-1，P(m，n)是抛物线上的一动点，当△POD的周长最小时，求P点坐标。
2010•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）用待定系数法即可求出直线AB的解析式；根据“当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等”可知：抛物线的对称轴为y轴，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据A点坐标可求出半径OA的长，然后判断A到直线l的距离与半径OA的大小关系即可；（3）根据直线AB的解析式可求出D点的坐标，即可得到OD的长，由于OD的长为定值，若△POD的周长最小，那么PD+OP的长最小，可过P作y轴的平行线，交直线l于M；首先证PO=PM，此时PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小时，应有PD+PM=DM，即D、P、M三点共线，由此可求得P点的坐标；此时四边形CODP是梯形，根据C、O、D、P四点坐标即可求得上下底DP、OC的长，而梯形的高为D点横坐标的绝对值由此可求出四边形CODP的面积．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：−4k+b＝32k+b＝0，解得k＝−12b＝1；∴直线AB的解析式为y=-12x+1；由题意知：抛物线的对称轴为y轴，则抛物线经过（-4，3），（2，0），（-2，0）三点；设抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x+2），则有：3=a（-4-2）（-4+2），a=14；∴抛物线的解析式为：y=14x2-1；（2）易知：A（-4，3），则OA=42+32=5；而A到直线l的距离为：3-（-2）=5；所以⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离，即直线l与⊙A相切；（3）过D点作DM∥y轴交直线于点M交抛物线于点P，则P（m，n），M（m，-2）； ∴PO2=m2+n2，PM2=（n+2）2；∵n=14m2-1，即m2=4n+4；∴PO2=n2+4n+4=（n+2）2，即PO2=PM2，PO=PM；易知D（-1，32），则OD的长为定值；若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；∵PO+PD=PD+PM≥DM，∴PD+PO的最小值为DM，即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；此时点P的横坐标为-1，代入抛物线的解析式可得y=14-1=-34，即P（-1，-34）；∴S四边形CPDO=12（CO+PD）×|xD|=12×（2+32+34）×1=178．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，还涉及到解析几何中抛物线的相关知识，能力要求极高，难度很大．