量子力学的矩阵形式与表象变换.ppt

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；了解量子力学公式(如薛定谔方程、本征方程、平均值等)的矩阵形式；

本 章 要 求
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
WORK
教 学 内 容
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与
幺正变换
§2 力学量算符的矩阵形式
§3 量子力学公式的矩阵形式
§4 Dirac符号
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与幺正变换
（一）例子
Ψ(r,t) 以坐标为自变量—坐标表象中
的波函数表示
(p,t) 以动量为自变量—动量表象中
的波函数表示
同一个状态在不同表象下的表示
表象=“坐标系”
问题：量子态在其他力学量表象下的表示？
表象之间的联系或变换关系？
（二）希尔伯特（Hilbert）空间
一个微观体系所有可能的量子态的态函数张成一个抽象的函数空间，称为希耳伯特空间，每一个量子态（不涉及表象）看成希耳伯特空间的一个“矢量”，称为态矢量。
如同三维实空间需要建立一组正交、归一的基矢 ，即建立坐标系，空间中的任何矢量A才能按这组基矢展开（即矢量有了具体表示）：
那么，如何建立Hilbert空间的基矢组（表象）以便任何态矢量都能按此展开（态矢量的具体表示）？
体系的任何一组对易力学量完全集F有完备的共同的本征函数组 （其本征值谱可离散或连续），可以用来构成该态空间的一组正交、归一完备的基矢（称为F表象）。
因为体系的任何量子态（对应Hilbert空间的一个抽象矢量）可以按 展开
这组数（a1, a2 , …）就是量子态在F表象下的表示。k是F表象的基矢。
可见，态函数张成的Hilbert空间的维数可以是有限的，也可无限的，甚至不可数的（基矢k为连续谱时），同时由于态函数是复数，Hilbert空间又是一个复空间。
Q表象
Hilbert空间的任意态矢量在坐标表象下的表示：
常用的表象：坐标表象，动量表象，能量表象。
任何一个厄米算符Q的本征函数系 具有正交、归一、完备性，也可以用来构成Hilbert空间的基矢从而建立所谓的Q表象。
例如，用坐标算符x的本征函数系 （本征值谱x'连续）构成Hilbert空间的基矢，就是坐标表象。
（三）量子态在不同表象中的矩阵表示
在F表象(或Q表象)中，任意量子态的具体表示可以写成一个列矩阵：
考虑另一力学量完全集F' ( 或者另一力学量算符Q' )，其正交、归一完备的共同本征态 构成新的基矢组：
—F ' 表象或Q'表象
任意态矢量
在F' 表象下的矩阵表示
F'表象下的具体表示
（四）表象之间的变换—幺正变换
F表象：
F'表象：
左乘' 再取标积
令
两个表象的基矢的标积，反映基矢之间的关系
反映表象之间的变换关系？