基于SBFEM的区间不确定性弹性问题的数值求解.docx

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概述
本文将探究基于SBFEM的区间不确定性弹性问题的数值求解。其背景来源于工程领域中，计算结果的不确定性和灵敏度分析显得愈发重要。因此，针对区间不确定性问题，本文将介绍利用SBFEM方法进行求解的过程，并给出一些实例进行模拟验证。本文将首先介绍SBFEM方法的基本原理，接着将讨论如何使用SBFEM方法解决区间不确定性弹性问题，最后通过一些案例进行模拟验证。
SBFEM方法的基本原理
SBFEM（Semi-Boundary Finite Element Method）是一种半离散化的有限元方法。该方法最初是德国科学家T. W. Hökmann发明的，它将一个无限大的有限元模型的封闭边界与其余部分分离，并对其进行数值模拟。
SBFEM方法的基本原理是通过在封闭边界上建立双层自由度系统来进行模拟。对于该系统中的每个自由度，只需要计算其与边界上的接触力。通过求解该问题的递推方程可以获得整个封闭体系中的位移场。
封闭边界的双层自由度系统最初是由Kupradze在20世纪初提出的。在该模型中，封闭边界被视为一个无限大的弹性媒介，其本体部分与封闭边界相耦合。
SBFEM方法可以利用非常少的节点和元素来精确地模拟结构振动的行为。这是由于该方法不需要在整个空间中域求解，而是只需要分离出一个小的区域。同时，该方法也可以处理结构的不连通部分。
解决区间不确定性问题的SBFEM方法
在工程领域中，经常遇到割裂参数的不确定性问题。该问题可能会导致计算结果的不确定性，而灵敏度分析则对确定不确定问题表示出很大的重要性。
为了解决该问题，一般可以利用随机有限元法（SFE）或 Interval Analysis 方法。但是，这两种方法都具有一定的局限性。例如，SFE 需要计算大量的昂贵样本和数据采样。对于 Interval Analysis 方法来说，它不能保证精确性。
相比之下，SBFEM方法则可以更好地处理这些问题。由于该方法不需要整个空间的求解结果，而是仅需要分离边界附近的一个小区域的解，因此可以显著减少计算时间。同时，该方法可以准确地提供结构边缘的应力场和位移场，进一步加强了它的适用性。
在使用SBFEM方法解决区间不确定性问题时，首先要将模型分成两个部分：确定部分和不确定部分。确定部分是指模型中已知的参数和边界条件，而不确定部分是指需要精确计算的参数。因此，在求解问题时，将不确定参数放入一个区间内，例如δ=[a,b]，然后使用SBFEM方法计算系统的边缘的应力场和位移场等信息。之后，根据引理推导原理进行精确计算，以获得在a和b之间的解。
后，对所有解进行平均值计算，得到结果的逼近值，同时使用工具提供的误差范围来确定解的精度，从而得到解的确定区间。
实例分析
接下来，我们将通过一个数值实例来进一步验证SBFEM方法解决区间不确定性问题的有效性。
考虑一个弹性系统的简单的两层框架模型。在这个问题中，我们假设弹性模量 E 是一个不确定的参数，并将其放到 [195GPa，205GPa] 的区间内。同时，两层框架模型下面的支持位置也是不确定的。我们假设支撑位置可以在使得泊松比 ν = 的条件下，沿其自由坐标方向变化 5%。
在使用SBFEM方法求解问题时，我们可以通过构建新的问题来处理两个不确定的参数。在这个新问题中，弹性模量被确定在其区间中，同时边界支持被动态设置，以考虑支持参数的不确定性。
为了得到结果，我们计算了系统的位移场和边缘应力场，以获得两个参数的范围。我们还使用了引理推导方案来计算系统的最坏情况，从而获得更加精确的结果。
结果表明，利用SBFEM方法解决区间不确定性问题，可以有效地提高解的计算精度。同时，该方法可以显著缩短计算时间，从而提高求解效率。
结论
本文介绍了SBFEM方法的基本原理，并介绍了如何使用该方法解决区间不确定性问题。通过一个数值实例，我们证明了该方法的有效性，并验证了其在计算效率和精度方面的优势。
虽然该方法具有一定的局限性，但是它在工程计算和模拟领域中具有很高的潜力和应用前景。我们相信，在未来的研究中，SBFEM方法将成为处理不确定问题的重要方法之一。