傅里叶级数数学省公开课一等奖全国示范课微课金奖ppt课件.pptx

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二、函数展开成傅里叶级数
§ 傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数 三角函数系正交性
三角级数
形如
级数称为三角级数 其中a0 an bn(n1 2   )都是常数.
1 cos x sin x cos 2x sin 2x     cos nx sin nx   
三角函数系
三角函数系正交性
三角函数系中任何两个不一样函数乘积在 [ ]上积分等于零 而任何两个相同函数乘积在[ ]上积分不等于零.
>>>
第2页
提醒:
a0p
=
0
+
+
0
提醒:
anp
=
0
+
+
0
提醒:
二、函数展开成傅里叶级数
傅里叶系数
设f(x)是周期为2周期函数 且能展开成三角级数:
且假定三角级数可逐项积分 则
bnp
=
0
+
+
0
第3页
二、函数展开成傅里叶级数
设f(x)是周期为2周期函数 且能展开成三角级数:
且假定三角级数可逐项积分 则
系数a0 a1 b1    叫做函数f(x)傅里叶系数.
傅里叶系数
第4页
傅里叶级数
三角级数
称为傅里叶级数, 其中a0, a1, b1, · · ·是傅里叶系数.
然而, 函数f(x)傅里叶级数是否一定收敛 假如它收敛, 它是否一定收敛于函数f(x) 普通来说, 这两个问题答案都不是必定.
一个定义在(, )上周期为2函数f(x), 假如它在一个周期上可积, 则一定能够作出f(x)傅里叶级数.
第5页
定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)
设f(x)是周期为2周期函数, 假如它满足:
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,
则f(x)傅里叶级数收敛, 而且
当x是f(x)连续点时, 级数收敛于f(x);
当x是f(x)间断点时, 级数收敛于 .
傅里叶级数
三角级数
称为傅里叶级数, 其中a0, a1, b1, · · ·是傅里叶系数.
第6页
例1 设周期为2函数f(x)在[, )上表示式为
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理条件, 由收敛定理知道f(x)傅里叶级数收敛.
当xk时傅里叶级数收敛于
当xk时级数收敛于f(x).
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解 所给函数满足收敛定理条件, 由收敛定理知道f(x)傅里叶级数收敛.
因为傅里叶系数为>>>
所以f(x)傅里叶级数展开式为
(<x<; x 0, , 2,   ).
例1 设周期为2函数f(x)在[, )上表示式为
将f(x)展开成傅里叶级数.
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f(x)图形
和函数图形
例2 设周期为2函数f(x)在[, )上表示式为
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理条件, 由收敛定理知道f(x)傅里叶级数收敛.
当x(2k1)时傅里叶级数收敛于
当x(2k1)时级数收敛于f(x).
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解 所给函数满足收敛定理条件, 由收敛定理知道f(x)傅里叶级数收敛.
所以当x(2k1)时f(x)傅里叶级数展开式为
因为傅里叶系数为>>>
例2 设周期为2函数f(x)在[, )上表示式为
将f(x)展开成傅里叶级数.
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