高中自主招生考试数学真题-一笔画定理真题(配解析).pdf

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高中自主招生考试数学真题-一笔画定理真题（配完整解析）
考点卡片

1．一笔画定理
一笔画定理．
一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件，即图形是封闭联通的和图形中的奇点（与奇数
条边相连的点）个数为 0 或 2．

一．选择题（共 1 小题）
1．下面的图形，共有（ ）个可以一笔画（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）

A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共 2 小题）
2．公园小路如图，只要把 A，B，C，D，E，F，G 七个点中的 两处设为出口，可
实现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路而又不重复走．

3．用 12 根 3 厘米长的铁丝焊接成一个立方体，一只小虫先停在一个顶点处，然后沿着铁丝
爬行，若不回头也没有走重复路，爬回到原落脚处所走的最大距离是 厘米．
三．解答题（共 4 小题）
4．如图，16 个城市用 16 个圆圈表示，圆圈间的线条表示两个城市之间可以直达．问：能
否找到一条旅游路线，不重复地走遍这 16 个城市？
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5．下列图形是否可以一笔画出？

6．一个展览馆有 28 间展览室（如图，每一个方格代表一间展览室）．每相邻展室有门相通，
问能否设计出一条从入口到出口的参观路线，既不重复，也不遗漏的走过每间展览室，
画出参观路线的示意图，如果不能，请说明理由？

7．如图是 3×3 的方格型道路网，如果每个小方格的边长为 1 千米，那么由 A 点出发走完
全部路段，最后又回到 A 点，最少要走多少千米？


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高中自主招生考试数学真题-一笔画定理真题（配完整解
析）

参考答案与试题解析
一．选择题（共 1 小题）
1．下面的图形，共有（ ）个可以一笔画（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）

A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，上图中都是连通图．与奇
数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点．凡是由偶
点组成的连通图，一定可以一笔画成．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一
定可以一笔画成．其余的不能画成．
图 1 有两个奇点的连通图（其余都为偶点），能画出；
图 2 由偶数点组成，能画出；
图 3 由偶数点组成，能画出．
故选：D．
【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图
才能一笔画成，难度适中．
二．填空题（共 2 小题）
2．公园小路如图，只要把A，B，C，D，E，F，G 七个点中的 FD 两处设为出口，可实
现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路而又不重复走．

【解答】解：与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫
做偶点．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成．凡是只有两个奇点的连通图（其
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余都为偶点），一定可以一笔画成．其余的不能画成．
凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成，画时必须把一个奇点
为起点，另一个奇点终点，
∵只有 DF 处是奇点，
∴只有把 D、F 两处设为进出口，才能实现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路
而又不重复走．
故答案为 D、F．
【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图
才能一笔画成，且画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点．
3．用 12 根 3 厘米长的铁丝焊接成一个立方体，一只小虫先停在一个顶点处，然后沿着铁丝
爬行，若不回头也没有走重复路，爬回到原落脚处所走的最大距离是 96 厘米．
【解答】解：如图所示：

12×8＝96（厘米）；
答：小虫回到 A 点所走的最长路径是 96 厘米．
故答案为：96．
【点评】此题主要考查正方体的特征，特别是棱的特征，它的12 条棱的长度都相等；此
题可以通过画图分析解答比较简便．
三．解答题（共 4 小题）
4．如图，16 个城市用 16 个圆圈表示，圆圈间的线条表示两个城市之间可以直达．问：能
否找到一条旅游路线，不重复地走遍这 16 个城市？

【解答】解：根据能进行一笔画的条件是：首先，这个图形应该是连通的，不能像“品”
字、“回”字等那样由若干彼此独立、没有联系的部分组成．第二个条件是，图形中奇顶
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点的个数是 0 或是 2．奇顶点就是经过该顶点上的线条数目是奇数（该顶点上的线条数目
是偶数者，叫做偶顶点）．如“口”字图形有4 个偶顶点，而没有奇顶点，即奇顶点的数
目是 0．因此可以一笔画出．“日”字和“串”字的图形，都有两个奇顶点，能够一笔画
出．而“田”字、“目”字和“井”字诸图形，奇顶点的数目分别是 4 和 8，所以不能够
一笔画出来．
因为此题中奇点个数为 16 个，故不能一笔画完，
故不能找到一条旅游路线，不重复地走遍这 16 个城市．
【点评】此题主要考查了一笔画定理，熟练根据一笔画条件进行判断是解题关键．
5．下列图形是否可以一笔画出？

【解答】解：连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，上图中都是连通图．与奇
数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点．凡是由偶
点组成的连通图，一定可以一笔画成．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一
定可以一笔画成．其余的不能画成．
图 1 由偶数点组成，能画出；
图 2 由偶数点组成，能画出；
图 3 有四个奇点的连通图（其余都为偶点），不能画出．
【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图
才能一笔画成．
6．一个展览馆有 28 间展览室（如图，每一个方格代表一间展览室）．每相邻展室有门相通，
问能否设计出一条从入口到出口的参观路线，既不重复，也不遗漏的走过每间展览室，
画出参观路线的示意图，如果不能，请说明理由？

【解答】解：我们把所有的展览室分成两类，分别标上 0 和 1，如图所示：
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通过分类看出，参观者只能从标记 0 的展览室进入标记 1 的展览室，
或从标记 1 的展览室进入标记为 0 的展览室，而不能从标记 1 的展览室直接进入另一个
标记 1 的展览室或从标记 0 的展览室直接进入另一个标记为 0 的展览室，

从而知，参观者的路线只能是：（入口）→0 1 0 1 0 1 0→1…1 0（出口）
由此路线不难看出，n 不许是偶数，但又由于展览室总数是 28，
所示 n＝27 为奇数，导致矛盾，因此所求路线不存在．
【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图
才能一笔画成．
7．如图是 3×3 的方格型道路网，如果每个小方格的边长为 1 千米，那么由 A 点出发走完
全部路段，最后又回到 A 点，最少要走多少千米？

【解答】解：
由图中可知，多重复了 4km，所以最少要走 3×8+4＝28 千米．
答：最少要走 28 千米．

【点评】本题考查了最短路线问题；画出相应图形，得到最短路线是解决本题的关键．
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