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篇1：求轨迹方程问题中的数学思想论文
求轨迹方程问题中的数学思想论文
摘 要：数学高考试题十分重视对学生解题方法的考查，尤其是突出考查能力的试题，其解答过程都总是蕴含着重要的数学思想方法。学生只有有意识地应用数学解题方法，有目的、有步骤的去分析问题、解决问题，才能在大脑中构建数学情境，形成数学能力，提高数学素质。
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数学高考试题十分重视对学生解题方法的考查，尤其是突出考查能力的试题，其解答过程都总是蕴含着重要的数学思想方法。学生只有有意识地应用数学解题方法，有目的、有步骤的去分析问题、解决问题，才能在大脑中构建数学情境，形成数学能力，提高数学素质。
数学解题的基本方法是数学思想的体现，具有模式化和可操作性的特征，一般都能解决莫一类具体的提醒，可以选用作为解题教学的具体手段。可以说，在高中数学中，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，而提高学生数学素质的核心就是要提高学生对数学方法和数学思想的认识和运用，也就是我们常说的解题能力。
这里介绍高考中常见的求轨迹方程这一类提醒的解题方法和解题步骤。求轨迹方程的问题常见于选择题与解答题中，本考点单独命题的可能性不大，但结合直线、向量、和圆锥曲线等相关知识综合命题的可能性很大，所占分值一般较多，此类体型共有三种情况：
一、轨迹上的点满足所学曲线的某种定义，可直接写出方程
我们可先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再根据已知曲线的'定义直接写出动点的轨迹方程。而高中阶段已知的轨迹无非是直线、圆和圆锥曲线，在解题时要注意思考，看有无这三种图形的性质。
如杭州模拟题：△ABC的顶点A(-5，0)B(5,0), △ABC的内切圆心在直线x=3上，求顶点C的轨迹方程。
此题的A(-5，0)B(5,0)就隐含告诉了大家，轨迹很有可能是个圆锥曲线，果然对此题进行分析，通过切线长定理可得，C点轨迹为以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线，可直接写出方程。
这类题告诉我们，在求轨迹方程时，首先要注意条件是否满足某种已知曲线的定义，时刻注意题目隐含条件，这个曲线可能是什么图形，找到方向再进行分析。
二、已知轨迹形状，但却无法直接写出方程
在很多题目中，会明确告诉我们，求直线方程、或是圆方程、或者椭圆、双曲线、抛物线方程等，但因有些系数未知，不能直接写出轨迹方程。
在这种情况下，我们的解题步骤为：首先用待定系数设出轨迹方程，在设待定系数时，要把握让待定系数越少越好的原则。如，若已知直线上一点求直线方程，就用点斜式来设，已知斜率或者截距就用斜截式来设，已知横纵截距的关系就用截距式来设，什么都不知道就用斜截式来设待定系数。设出方程后，根据已知条件，解出待定系数即可。
如江西高考题：直线在y轴上截距为3，在圆(x-2)2+(y-2) 2=.
此题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、重点考察数形结合的思想方法的应用。在讲解直线和圆的位置关系时。教师应明确指出：提到直线和圆相切，就要先考虑圆心到直线的距离等于半径，其次考虑半径与切线垂直;提到直线和圆相交，就要考虑半径、割线、圆心到弦中点的连线所构成的直角三角形。此题显然属于后一种情况，只要画出直角三角形，就可根据勾股定律求出圆心到直线的距离为4.
设直线方程为y=kx+3,带入点到直线的距离即可求出k.
三、不知轨迹形状，求轨迹方程
不知道轨迹性质的提醒更为多见，我们应用直接法求解，即利用条件建立x,y之间的关系F(x，y)=0.
首先设M(x，y)为所求轨迹上一点。此时注意M点必须是一般化的点，没有特殊的性质，与轨迹上其他所有点没有任何不同;然后根据已知条件把x，y放入等式，写出F(x，y)=0的式子，这就是轨迹方程。此时需要注意的是x和y是作为M点的坐标存在，而非未知数。
如四川高考题：动点M与两定点A(-1，1)、B(1，0)构成△MBC，且直线MA、MB的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程。
这就是典型的不知轨迹形状，求轨迹方程的例子。我们首先设M(x，y)在所求轨迹上，然后写出MA、MB的斜率，其乘积等于4，即可得到一个关于x，y的等式F(x，y)=0，这个等式就是轨迹方程。
在这种类型中，还有一种特殊的情况，即动点M(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y便是代数式x0，y0，然后将x0，y0带入已知曲线即可得所要求的轨迹方程。
如20海宁模拟题，△ABC的两个顶点B(-2，0)C(2,0),顶点A在抛物线y=x2+1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程。
此题为典型的代入法求轨迹方程，设G(x，y)在所求轨迹上，设A坐标为(x0，y0)，找到x，y 与x0，y0的关系x0=3x ，y0 =3y，然后把x0，y0带入抛物线方程即可得到F(x，y)=0的式子，也就是轨迹方程。
总之，求轨迹方程
篇2：高中二次函数解题中数学思想运用论文
高中二次函数解题中数学思想运用论文
摘要：二次函数是我们高中数学学习的重要内容，主要运用于几何和代数问题的解答中，在对高中数学学习中，对二次函数解题的数学思想的运用，对解决数学中难点和重点具有重要的作用。通过下文对数学思想在二次函数解题中的运用进行具体的阐述。
关键词：高中数学;二次函数;数学思想;运用
1换元思想在二次函数最值问题中的运用分析
换元思想是高中数学学习中重要的思想方法之一，在对二次函数最值解答时，具有较好的应用效果，通过这种数学思想的运用可以对算式进行简化，提高答题的效率。换元思想在数学中又被称之为变量代换法，简单来说就是将数学中较为复杂的等式通过换元思想简化之后，就会变成我们日常学习中遇到的简单函数，最后运用方程式，更加快速和有效的得出函数的范围，求解出函数的最值。如：题目中已知时，对中最小值进行求解这一题目是高中数学二次函数中较为典型的最值求解，在进行解题时可以将换元思想运用到其中，找出解题的思路。首先设，根据，就可以得出，再将看做一个整体，将它的值设置为a，在将a值带入到等式中得出x=，最后在x带入到y=2x—3+中，经过整理之后得到3)1(212a++=y，这一公式中当a≥—1时，难么就表现为函数y值对着a值的增大而增大，并且函数存在最小值，即a=2时，将之带入到公式y=3)1(212a++中，得到最小值，从而完成对该题目的`解答［1］。
2对称思想在二次函数求解析式中的运用分析
对高中数学二次函数的学习中，函数图像也是其中的重点内容，通过对函数图像的分析，对二次函数中函数图像的性质和变化规律以及特点进行掌握，同时还能够加深对二次函数的理解。除此之外，将函数图像运用到二次函数的求解中对开阔解题思路，提高解答效率也具有十分重要的作用，可以将抽象化的数学问题运用直观的图像进行转化，促使我们可以透过图像对其中的变化情况准确的了解。在高中数学学习中，对称思想的本质就是一种数行结合的解题思想，这一数学思想的运用主要是针对二次函数解析式问题，可以将题目中有限的条件，转化成为具有重要价值的解题思想，并且将之运用到解题当中，得出正确的答案。如：题目中已知两条抛物线21yy分别位于函数y=3822xx+图像中，并且与x轴和y轴相互对称，求解21yy抛物线相对应的解析式。通过题目我们了解到其中没有给出与求解函数相关的信息，因此对题目中的已知条件，需要从图形关系中提到的对函数图像对称关系的函数解析式出发，解题的第一步就需要将其中提到的已知条件进行转化，并在求解函数解析式中加以运用，而求解函数解析式就需要确定函数的定点，将函数进行变形，通过整理得出y=3822xx+=21)2(22x，通过顶点式可以得出函数的顶点坐标为（2，—1）。在根据题意进行分析，题目中提到的函数1y与函数y是关于x轴呈对称关系，在借由二次函数的图像可以知道，关于x轴相互对称的函数开口方向、抛物线和定点对称是相同的，因此得出1y、2y的表达式为1y=21)2(22x+=—22xx+38，2y=21)2(22x+=—22xx++38。
3联想思想在二次函数不等式求解中的运用分析
联想思想在二次函数解题中的运用与换元思想和对称思想相比较对运用的要求更高，在实际学习和解题中的运用也更加的广泛。联想思想的运用主要是指在解题相关二次函数问题时，对题目中给出的已知条件，在结合相关二次函数知识，对已知条件与题目求解进行联想。这一方法在实际解题中的运用，需要我们对题目给出的已知条件进行灵活运用，得出题目中隐含的信息。这一思想方法在二次函数中应用较为广泛的是在不等式求解，通过对等式或者是不等式展开联想，实现两者之间的自由转换，提高解题效率。如：题目中已知函数f（x）=a2x+bx+c，其中a≠0，f（x）—x=0，有且只有两个解，即1x和2x，并且这两个值需要满足0<1x<2x<1。证明当x∈（0，1x）时，有x<f（x）<2x。这一题目中给出的已知条件相对较少，需要对其中提到的已知条件进行具体分析的基础上完成解答。首先题目中提到的条件f（x）—x=0，经过转换之后得到f（x）=x，通过转化之后的信息，再结合二次函数图像的特点可以得出这一图像与直线y=x在第一象限中有不同的交点，就可以将函数整理成为f（x）=ax2+(b—1)x+1=0，在结合韦达定理和0<1x<2x<1已知要求，可以得出结论（0）<f（1x），再通过二次函数图像可以证明x∈（0，1x）时，有x<f（x）<2x［2］。
4结语
通过上述内容，我们可以知道在高中数学二次函数学习中可以将换元思想、对称思想和联想思想进行运用，这三种思想也是高中数学学习的基本思想，在二次函数学习中都有不同的效用，可以针对二次函数问题的不同特性，运用与特性相适应的数学思想，可以提高解题的效率和保障解题的正确率，同时还能够培养数学思维和能力。
参考文献：
［1］纪智斌.“换元、对称、联想”思想方法在高中二次函数解题中的运用［J］.考试周刊，2025（43）：80~81.
［2］杨佳璇.“换元、对称、联想”思想方法在高中二次函数解题中的运用［J］.科学大众（科学教育），2025（01）：31.