二节一阶微分方程.ppt

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三、线性方程
四、全微分方程
第二节 一阶微分方程
202X
一、可分离变量的方程
可分离变量的方程
可分离变量的微分方程的解法：
如果一个一阶微分方程能写成.
的形式称为可分离变量的微分方程.
例1 求解微分方程
解
分离变量
两端积分
典型例题
的通解。
即为所求的通解。
01
解： 略
02
解： 略
令
01
解法
从而化为可分离变量方程
02
定义
的微分方程称为齐次方程.
03
二、齐次方程
01
02
03
04
05
06
例 4 求解微分方程 的通解
解 原方程可化为
此为齐次方程，因而令：
分离变量，得
两边积分得
原方程的通解为
三、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
称 为 齐次线性方程.
称 为非齐次线性方程
例如
线性的;
非线性的.

分离变量后得
齐次线性方程 是可分离变量方程 ，
这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）
2. 非齐次线性方程的解法（常数变量法）
将齐次线性方程通解中的常数
换成函数
(8)
代入方程（6）得
即
.
或
两边求积分得
.
将上式代入(8)式得一阶非齐次线性方程的通解的公式
(9)
上面的解法，即是把对应的齐次方程的通解中的常数
变易为函数
，而后再去确定
“常数变易法”.
或
(10)
，从而得到非齐次