积分法(一)
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
理查森(Richardson)外推法
罗姆伯格(Romberg)积分法
自适应(Adaptive)积分法
高斯(Gauss)积分法
奇异(Singularities)积分
工程中积分运算的不同情况
积分的函数平滑,区间处处有界,且积分区间的下限有限
区间中某点间断,或至少积分的上限或下限为无限大,即积分的奇异性
仅给定函数在某些固定点上的值,而值之间无确定关系,即原函数无法用初等函数表示
积分公式
在积分区间内各节点上被积函数的加权代数和
其中
仅是加权系数和节点的某种选择
最简单的方法
用等步长,并选择能给出最好逼近的加权系数,即通过将积分区间逐次对分,使其能够逐步改进
更精确的方法
按照提高精度的原则选择节点
任何积分公式,随节点数的逐渐增大,其值越加逼近精确值
可获得高精度且有效的逼近法
先用具有n个节点的积分公式估算其积分值
再用2n个节点重复运算
比较结果
差值在预定误差范围内,结果满意
否则,节点数加倍,继续重复运算,直至满意
等步长积分公式
步长
区间内具有(n+1)个等步长节点
逼近误差总正比于hm,当h减小或n增大时,其误差随hm而趋近于零,称为具有第m阶逼近
可构造一个积分公式,用任一阶次直到m阶多项式的积分表示
m表示积分公式质量好坏的一种度量
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
最简单而有用的积分公式,选用Lagrange插值函数在每个等步长区间上积分求值
具体方法
将整个积分区间分成n个子区间,包括两个端点,共(n+1)个节点
构造n阶Lagrange多项式
积分该多项式
Cotes系数
Cotes系数性质
Cotes系数表
每一次偶数逼近比前于它的奇数次逼近具有明显改进
奇数次逼近并不比前于它的偶数逼近好
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