概率统计真题—Byfan.docx

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历年真题精华版(02-07)
—By fan
〔声明：这是由 fan 整理编辑，仅供参考。〕
2025 年人或许率统计初试题
一、〔20 分〕两个不能区分的盒子里都有 9 个球，其中一个是 5 红 4 白，另一个是 4 红 5 白。
从两个盒子中随机抽一个，期望通过无放回抽样来猜测抽到底是哪个盒子。其规章是： 无放回抽取三次，假设抽到的红球多，则认为盒子是 5 红 4 白；反之认为是 4 红 5 白。问这样猜错的概率有多大假设用有放回抽样，猜错的概率又有多少
二、〔20 分〕相互独立的随机变量 X 和 Y 分别听从参数为l 和l
1 2
的泊松分布，证明随机变量
X+Y 听从参数为l + l
1 2
的泊松分布。要求用两种方法证明，其中一种是特征函数。
三、〔10 分〕二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
ìcxy, 0<x<2, 1<y<2
î
f (x, y) = í0, otherwise
求Z = min(X ,Y ) 的概率密度函数。
四、〔15 分〕设随机变量序列{x
n
}及{h
n
}分别以概率收敛于随机变量x 和h ，证明：{x
n
+ h }
n
以概率收敛于x +h 。
五、〔15 分〕二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y
X
-1
0
1
0
1
2
0
0
求 E[Y | X ] 和Var[ X | Y ] 的分布律。
六、〔20 分〕设 X , X ,K , X 是来自正态总体 N (m,s 2 ) 的简洁随机样本，证明： 1 2 n
〔1〕 1
s 2
ån ( X
i
i=1
- X ) :
c 2 (n -1)；
〔2〕 X 与S
2 相互独立。
n
七、〔15 分〕设总体 X 的分布函数为 F(x) ，概率密度函数为 f (x) ， X , X ,K , X 是总体 X 的
1 2 n
简洁随机样本，证明第k 个次序统计量 X

( k )
的概率密度函数为
f (x) =
k
n!
(k -1)!(n - k )!
[F (x)]k -1[1- F (x)]n-k f (x), k = 1,2,K , n
八、〔20 分〕设总体 X 听从正态总体 N (q ,s 2 ) ，其中s 2 。参数q 的先验分布为正态总体
N (m,t 2 )，其中m 和s 2 。 X , X ,K , X 是总体 X 的简洁随机样本，求
1 2 n
参数q 的后验分布；
在平方损失函数下求q 的贝叶斯估量；
求q 的置信水平为1-a 的区间估量。
九、〔15 分〕某市作电视收视率调查，随机调查了 100 人，在晚七点二格外收看中心台闻联播节目的人数是 45 人，依据以往阅历，这一时刻节目的收视率是 50%，则
〔1〕能否认为收视率有了显着削减〔显着性水平a =〕；
假设检验问题与区间估量具有对偶性，给出与以上假设检验问题相对偶的单侧区间估量，并说明如何由此区间估量做上面的假设检验。
〔F() = , F() = 〕
2025 年人或许率统计初试题
一、〔20 分〕设有编号1,K , n 的n 个球和从左到右排列的编号为1,K , N 的 N 个格子( N ³ n )， 每个球都以同样的概率1/ N 落到 N 个格子中的一个格子中，试求：
某指定的n 个格子中各有一个球的概率；
任何n 个格子中各有一个球的概率；
任何n 个格子中各有一个球并且球号从左到右严格上升的次序排列的概率；
任何n 个格子中各有一个球并且球号从左到右严格上升的次序排列，同时编号为 m 的
球落在第M 个盒子中的概率( m £ M , n - m £ N - M )。
二、〔20 分〕在牢靠性与生存分析中，所争论的寿命现象是非负随机变量，记作x ，其分布函数为 F(x) ，密度函数为 f (x) ，称 S (x) = 1- F (x) 为生存函数，这时常引入失效率函数l(x) ， 其定义为l (x) = f (x) / S (x) 。
给出失效率函数l(x) 的直观解释，并推导用l (x) 表示S (x) 的公式；
某放射性物质在初始时刻的质量为m
0
，在单位时间内每个原子产生分裂核的概率为常
数l ，求经过时间 x 后改放射性物质质量的期望。
三、〔20 分〕设x 和x
1 2
不相关，分别对以下两种状况证明x 与x
1 2
独立：
1. x 与x
1 2
都是只取 0 和 1 两个值的随机变量；
2. x
1
是只取a 和b ( b
1 1 1
a )这两个值的随机变量，x
1 2
是只取a
2
和b ( b
2 2
a )这两个值的
2
随机变量。
四、〔15 分〕一个同学承受如下方法获得标准正态分布的随机数：每次产生 12 个(0,1)区间均匀分布的随机数，求和后再减 6，作为标准正态分布的一个随机数。你认为该同学的做法是否合理说明缘由。
五、〔20 分〕假设 X , X ,K , X 取自正态分布 N (m,s 2 ) 的简洁随机样本， m 和s 2 未知，求
1 2 n
m 和s 2 的极大似然估量；
在上述分布下，求用 S 2 =
n+1
1
n +1
ån ( X
i
i=1

X )2 估量s 2 的均方误差，比较 S 2
n+1

和上一问中
的s 2 的极大似然估量的均方误差谁大谁小。
六、〔20 分〕以下是 13 名大学生刚入校时某项体能测试成绩和入校进展了三个月体育训练后的测试成绩，数据如下表所示
入校时
42
57
38
49
63
36
48
58
47
51
83 27
31
训练后
40
65
48
37
68
40
50
60
49
58
62 33
44
在水平为之下，答复训练前后测试数据的均值是否存在显着性差异。，争论所选检验方法的假定条件；
1 中所选用的假定条件，在的显着性水平下，推断训练前后测试数据的均值是否存
在显着性差异。
七、〔20 分〕设从均值为m ，方差为s 2 > 0 的总体中，分别抽取样本量为 n 和n
1 2
的两个独立
样本， X 和 X 分别是两个样本的样本均值。确定常数a 和b 使得Y = aX + bX 为m 的无
1 2 1 2
偏估量且Var(Y ) 到达最小。
八、〔15 分〕设总体 X 的分布密度为
ì 1 - x
í
e , x > 0, 0 < q < ¥
p(x,q) = ïq q
ïî0, x £ 0
( X ,K , X ) 为总体 X 的样本，求参数q 的置信度为1-a 的置信区间。
1 n
2025 年人或许率统计初试题
一、〔20 分〕证明几何分布是离散随机变量中唯一具有无记忆分布的分布。二、〔20 分〕记U ，U 是相互独立的[0,1]区间均匀分布的随机数，令
1 2
x = (-2ln U 1 pU )
)2 cos(2
1 1 2
x = (-2ln U 1 pU )
)2 sin(2
2 1 2
证明： x 与x
1 2
是相互独立的 N (0,1) 随机变量。
三、〔20 分〕设 x ,x
1 2
,K ,x
n
是相互独立随机变量， x
i
的方差 Var (x
i
) = s 2 ，试找非负实数
i
a , a ,K , a
(其中a + a + K + a
= 1 )，使x = a x + a x + K + a x
的方差最小。
1 2 n
1 2 n
1 1 2 2 n n
四、〔15 分〕设{x
k
, k ³ 1} 是一列相互独立的随机变量序列，x
k
听从区间[-k, k] 上的均匀分布，
用林德贝格条件证明{x
k
, k ³ 1} 听从中心极限定理。
五、〔20 分〕令 X , X ,K , X 是从分布族 p(x,q) 中抽取的独立同分布随机样本， p(x,q) 如下
1 2 n
所示
p(x,q) = ïq
ì 1 , 0 < x £ q, 0 < q < ¥
í
ïî0, 其它
求参数q 的极大似然估量qˆ ，推断qˆ 是否是q 的无偏估量，假设是，求出它的方差；
MLE MLE
假设不是，请构造一个无偏估量，并求出不偏估量的方差，在均方差的标准下说明谁更
优。〔提示：参数q 的估量量T ( X , X ,K , X ) 的均方差定义为 E(T ( X , X ,K , X ) -q )2 〕
1 2 n 1 2 n
六、〔15 分〕某超市为便利四周居民对某种商品的需求，调查了 100 家住户，得出每户平均需要量 X 为15kg ， S 。假设居民对该类商品的月需要量听从正态分布，假设
该超市四周有 10000 户居民。
1.〔8 分〕试求一户居民对该种商品的平均月需求量置信水平为的区间估量；
2.〔7 分〕本着节约库存的考虑，至少需要预备多少该类商品才能以的概率满足四周居民的需要
七、〔 20 分〕设 X ,K , X 是取自正态总体 N (m ,1) 独立同分布样本， 对假设检验问题
1 n
H : m £ 0 « H : m > 0 ：
0 1
1．〔10 分〕试给出一个水平为a 的检验和检验拒绝域；〔要求：给出求解的全部过程〕
2.〔10 分〕假设m 有先验分布 N (1,2) ，求m 在平方损失函数下的 Bayes 估量。〔提示：m
的 Bayes 估量定义为： mˆ
B
= E(m | X ) 〕
八、〔20 分〕一个社会工作者选取 10 对夫妻，考察他们对婚姻状况的满足程度，婚姻满足度描述的是每个人在婚姻中的欢快。结果由下表给出：
统计量
婚姻满足度
女性
均值 标准差
男性
均值 标准差
1.〔8 分〕假设需要分析在婚姻满足状况中，男性的差异和女性的差异是否存在不同， 请争论可以选择怎样的假定和方法进展分析，你对如上的数据汇总方式是否满足
2.〔6 分〕依据你的假定和选择的方法答复，是否可以认为在婚姻满足状况中男性的差
异与女性的差异不同
3.〔6 分〕构造男性和女性对婚姻状况满足度之间的 90%置信区间。
2025 年人或许率统计初试题
一、〔15 分〕袋中有m + n 枚同型号硬币， m 枚是正品， n 枚是次品，次品的两面都是国徽。从袋中任取一枚，将它抛掷r 次，每次都消灭国徽，求这枚硬币是正品的概率。
二、〔20 分〕设一个家庭有n 个小孩的概率为
ìa pn , n ³ 1
=
P
í
ï a p
î
n ï1- 1-
, n = 0
p
这里0 < p < 1， 0 < a < 1- p ，假设认为生一个小孩为男孩或女孩是等可能的，求证一个家
p
庭有k (k ³ 1)个男孩的概率为
2a pk
(2 - p)k +1
三、〔20 分〕设二维随机变量(x,h) 的联合概率密度函数为
î
ì8xy, 0 £ x < y <£ 1 f (x, y) = í0, 其它
求条件数学期望 E(h | x = x) 和条件方差Var(h | x = x) 。
四、〔20 分〕〔伯恩斯坦定理〕随机变量序列{x
n
, n ³ 1} 的方差有界：Var (x
i
) £ C (i = 1,2,K ) ，
并且当 i - j ® ¥ 时， x 和x
i
的相关系数r
j ij
® 0 ，证明对{x
n
, n ³ 1} 成立大数定律。
五、〔20 分〕假定钢铁制造厂 A 生产的钢材的强度听从 N (m
1
,s 2 ) ，从中获得容量为 16 的样本，
1
测定其强度，得到 X = 1190 ， S 2 = 902 〔样本无偏方差〕。钢铁制造厂 B 生产的同种钢材
x
的强度听从 N (m
,s 2 ) ，从中抽取容量为 13 的样本，测定其强度，得Y = 1190 ，S 2
= 1002 。
1.〔6 分〕求s
1
2 2 y
/ s 的置信水平为的置信区间；
2
2.〔7 分〕由上述置信区间是否可以假定s
1
= s 请指出这样做的理由。
2
3.〔7 分〕在s
1
= s 条件下求m
2 1
m 的置信水平为的置信区间。
2
六、〔20 分〕设q Î(a, b) ， T ( X ) 是q 的无偏估量，令
ìT (x), a £ T (x) £ b
í
S (x) = ïa, T (x) < a
î
ïb, T (x) > b
证明： E(S ( X ) -q)2 £ E(T ( X ) -q)2 。
七、〔20 分〕有一种特地用于动物治疗的安眠药，据说在肯定剂量下，能比某旧安眠药平均增加睡眠时间 3 小时。依据以往资料，用旧安眠药平均睡眠时间为小时。为了检验安眠药是否到达疗效，收集到一组〔8 个〕用安眠药的睡眠时间分别为：，，，，。 1.〔10 分〕假定睡眠时间为正态分布，试在显着型水平a = ，推断安眠药是否
到达疗效。
2.〔10 分〕假设没有正态假定，用符号检验给出检验，并和 1 中的结果进展比较。
八、〔15 分〕设总体密度函数为

p(x;q) =

2 (q - x) (0 < x < q)
q 2
从中获得样本 X , X ,K , X ，试给出以下检验问题
1 2 n
H :q = q « H :q ¹ q
0 0 1 0
的广义似然比检验法则。
2025 年人或许率统计初试题
一、〔20 分〕甲、乙两人下棋，每局获胜概率各为，商定谁先胜 5 局赢得全部 8000 元奖金。现已下 4 局，甲 3 胜 1 负，这时因故终止竞赛。假设按最终获胜概率的比例安排奖金，甲、乙两人各应分得多少奖金
二、〔20 分〕假设x ，h 独立，且均听从 N (0,1)，试证U = x 2 +h2 与V = x / h 相互独立。
三、〔20 分〕设(x,h) 听从二元正态分布，E(x) = E(h) = 0 ，Var(x ) = Var(h) = 1 ，相关系数为r ， 求 E(max(x,h)) 。
四、〔15 分〕将编号为1,2,K , n 的球随机放入编号为1,2,K , n 的盒中，每盒只放一球。以S 表
n
示球与盒的编号正好一样的个数，求证：
1 (S
n n
ES
n
) ®P
0 ( n ® ¥)
五 、〔 20 分〕 设 X , X ,K , X 是相互独立的连续性随机变量， 且 X 的分布函数为
1 2 n i
F (x ), i = 1,2,K , n 。试证明随机变量Y = -2å n ln(F (x )) 听从c 2 (2n) 分布。
i i i=1 i i
六、〔20 分〕设 X , X ,K , X 为一组简洁随机样本。总体分布密度为
1 2 n
í0, 其它
p(x; l) = ìlxl-1, 0<x<1
î
其中l > 0 为未知参数，求l 的极大似然估量。
七、〔20 分〕设 X1 , X 2 ,K , Xn 是取自总体 X 的样本， X 具有密度函数
ìe-( x-q) , x > q p(x) = í
î0, 其它
证明可取 X -q 作为求q 区间估量的枢轴量〔其分布与 q 无关〕，并求q 的置信水平为
(1)
1-a 的置信下限。
八、〔15 分〕有甲、乙两台机床，加工同样产品，其产品口径听从正态分布，从两台机床的
产品中分别抽取 6 个和 9 个，测量口径尺寸分别为 x , x ,K , x 和 y , y ,K , y
，并计算得
1 2 6 1 2 9
å6 x = , å6 x2 = , å9 y = , å9 y2 =
i=1 i i=1 i i=1 i i=1 i
取显着性水平a = ，试问这两台机床加工的零件其口径尺寸的方差是否有向住行差
异〔注：连续性随机变量 X 的分位数m a
如下定义： P( X < m
a
) = a ，题目可能用到的分
位数 F
(,)
= ， F
(,)
= ， F
(,)
= ， F
(,)
= 〕