高考数学排列组合常见方法.docx

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排列组合中的常用方法
排列数： Pm
n
= n(n -1)(n - 2) × × × (n - m + 1) =
n!
(n - m)!

，〔其中 m≤n，m、nÎN〕.
1
1
留意：为了使m=n 时， Pm
n
= Pn
n
= n!
(n - n)!
= n!公式成立，我们规定0！= 1〔同时1！=1 〕.
1
Pm n(n -1)(n - 2) × × × (n - m + 1) n!
1
组合数： Cm = n
n Pm
m
= m(m -1)(m - 2) × × × 3´ 2 ´1 = m!×(n - m)!
(n, m Î N * ,且m £ n)
1
1
Cm = Cn-m
n n
(n, m Î N * ,且m £ n) .
1
1
留意：为了使m=n 时， Cn
= C0 公式成立，我们规定C 0
= 1 ，
1
所以C 0
k

= C 0
k +1

= Ck
k
n
= Ck +1
k +1
n n
= 1；
1
排列组合问题联系生活实际，生动好玩，但题型多样，思路敏捷，因此解决排列组合问题， 首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题或是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，承受合理恰当的方法来处理。
排列组合中的常用方法如下：
特别元素和特别位置问题——优限法
多元问题——合理分类与分步法
相邻问题——捆绑法
不相邻问题——插空法
定序问题——倍缩法
重排问题——求幂法
平均分组问题——除序法
分组问题——隔板法
安排问题——先分组后排列法
球盒问题
区域涂色问题——分步与分类综合法
“至少”“至多”问题或者局部符合条件问题——排解法或分类法〔“正难则反”策略〕
元素个数较少的排列组合问题——枚举法
简单的排列组合问题——分解与合成法
1
特别元素和特别位置问题——优限法
元素分析法和位置分析法是解决排列组合问题最常用也是最根本的方法，假设以元素分析为主，则先安排特别元素，再处理其它元素；假设以位置分析为主，则先满足特别位置的要求，再处理其它位置。假设有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
例 6 名短跑运发动中任选 4 人参与 4*100 米接力，问其中甲不能跑第一棒，且乙不能跑第四棒的概率是
多元问题——合理分类与分步法
例 2.〔1983 第 1 届美国高中数学邀请赛〕数1447，1005 和 1231 有某些共同点，即每个数都是首位为 1 的四位数，且每个四位数中恰有两个数字一样，这样的四位数共有多少个？
相邻问题——捆绑法
将 n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？
先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有 Pn-k +1
n-k +1
种排法，然后再将“捆绑”在一起的元素进展内部排列，共有Pk 种方法。由乘法原理得，符合
k
条件的排列共 Pn-k +1 × Pk 种。
n-k +1 k
例 ，其中a,b 两种必需排在一起，而c, d 两种不能排在一起，则不同的选排方法共有 种。
不相邻问题——插空法
不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。将n 个不同元素排成一排，其中k 个元素互不相邻(k ≤ n - k )，有多少种排法？先把(n - k) 个元素排成一排，然后把 k 个元素插入(n - k + 1) 个空隙中，共有排法
Pk 种。
n-k +1
例 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个节目，假设将这 3 个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为
1
定序问题——倍缩法
在排列问题中限制某几个元素必需保持肯定的挨次，可用缩小倍数的方法，此法也叫作消序法。如将 n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素的挨次保持肯定，有多少种不同排法？
将 n 个不同元素排列成一排，共有Pn 种排法；k 个不同元素排列成一排共有Pk 种不同排法。
n k
Pn
于是，k 个不同元素挨次肯定的排法只占排列总数的Pk 分之一。故符合条件的排列共有 n 种。
k Pk
例 5.〔2025 浙江〕将 A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排，且A, B 均在C 的同侧，则不同的排
法共有 种。
k
重排问题——求幂法
允许重复的排列问题的特点是以元素为争论对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。一般地，n 个不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m n 种。
例 7 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，共有 种不同的方法。
平均分组问题——除序法
平均分成的组，不管它们的挨次如何，都是一种状况，所以分组后肯定要除以阶乘 n! ( n 为均分的组数)，避开重复计数。
例 名医生和6 名护士被安排到3 所学校为学生体检，每校安排1名医生和2 名护士，不
同的安排方法共有 种。
分组问题——隔板法
将 n 个一样的元素分成m 份〔n，m 为正整数〕，每份至少一个元素，可以用 m-1 块隔板，
插入 n 个元素排成一排的n-1 个空隙中，全局部法种数为C m-1 .
n-1
例 本一样的数学书和3 本一样的语文书，要将它们排在同一层书架上，并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为
安排问题——先分组后排列法
例 9 个学生安排到 3 个不同的三个宿舍，每宿舍至多 4 人〔床铺不分次序〕，则不同的安排方法有多少种？
1
球盒问题
例 10.〔1〕8 个一样的球放入 3 个一样的盒子，不能有空盒的放法种数等于
〔2〕8 个一样的球放入 3 个一样的盒子，可以有空盒〔但至少有一个盒子有球〕的放法种数等于
〔3〕8 个一样的球放入 3 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数为
〔4〕8 个一样的球放入 3 个不同的盒子中，可以有空盒〔但至少有一个盒子有球〕的放法种数为
〔5〕8 个不同的球放入 3 个一样的盒子中，不能有空盒的放法种数等于
〔6〕8 个不同的球放入 3 个一样的盒子中，可以有空盒〔但至少有一个盒子有球〕的放法种数等于
〔7〕8 个不同的球放入 3 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于
〔8〕8 个不同的球放入 3 个不同的盒子中，可以有空盒〔但至少有一个盒子有球〕的放法种数等于
总结：
ｎ个一样的球放入ｍ个一样的盒子〔n≥m〕，不能有空盒的放法种数等于ｎ分解为ｍ个正整数的和的种数。
ｎ个一样的球放入ｍ个一样的盒子〔n≥m〕，可以有空盒〔但至少有一个盒子有球〕的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2 个、1 个正整数的和的全部种数之和。
ｎ个一样的球放入ｍ个不同的盒子中〔n≥m〕，不能有空盒的放法种数为：C m-1 .
n-1
ｎ个一样的球放入ｍ个不同的盒子中〔n≥m〕，可以有空盒〔但至少有一个盒子有球〕可以转化为先将(ｎ+m)个一样的球放入ｍ个不同的盒子中〔n≥m〕，不能有空盒，然后再从每个盒子中取出一个球即可，所以ｎ个一样的球放入ｍ个不同的盒子中〔n≥m〕，可以有空盒〔但至少
1
有一个盒子有球〕的放法种数为C m-1
n+ m-1
.也可以屡次利用隔板法，ｎ个一样的球放入ｍ个不同的
1
1
盒子中〔n≥m〕，可以有空盒的放法种数为得出：
C1
n+1
× C1
n+2
× C1
n+3
× ... × C1
n+m-1 = Cm-1 .
1
(m - 1)!
n+m-1
1
不等于ｍｎ种。
ｎ个不同的球放入ｍ个一样的盒子中〔n≥m〕，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数。
ｎ个不同的球放入ｍ个一样的盒子中〔n≥m〕，可以有空盒〔但至少有一个盒子有球〕的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2 堆、1 堆的全部种数之和。
ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ 堆的种数再乘以ｍ！.
ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中〔n≥m〕，可以有空盒〔但至少有一个盒子有球〕的放法种数等于ｍｎ种。
留意：
解决球盒问题的根本思路是先把球分组再把球安排，即先组合后排列。
当球和盒子都一样时，只需把球分组即可、不需安排。且分组时不能运用组合公式，由于
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使用组合公式的前提是各元素要不同。
当球一样、盒子不同时，运用隔板法〔盒子不能空〕或者连续隔板法〔盒子可以空，留意排解重复计数的状况〕把球分组即可、不需安排，球一样时不能使用组合公式分组，这里运用 组合公式分组实际上已经把安排的排序问题解决了。
当球不同、盒子一样时，只需使用组合公式把球分组即可、不需安排。分组过程中存在平均分组时需要倍缩除序。
综合〔3〕和〔4〕可知，当球和盒子中有一项不同时，只需分组不需安排：当球一样、盒子不同时，运用隔板法或者连续隔板法分组；当球不同、盒子一样时，使用组合公式分组。
当球和盒子都不同时，只需使用组合公式把球先分组，然后再安排〔盒子不能空〕或者分步安排每个球〔盒子可以空〕。
区域涂色问题——分步与分类综合法
解答区域涂色问题，一是依据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是依据共用了多少种颜色分类争论；三是依据相间区域使用颜色的种数分类。以上三种方法常会结合起来使用。
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例 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如下图的 6 个点A、B、C、A 、
B C
、 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个
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的安装方法共有 种。
“至少”“至多”问题或者局部符合条件问题——排解法或分类法〔“正难则反”策略〕
个点，在其中取4 个不共面的点，则不同的取法共有
元素个数较少的排列组合问题——枚举法
例 人相互传球，由甲开头发球，并作为第一次传球，经过5 次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有 种。
简单的排列组合问题 分解与合成法
分解与合成法是排列组合问题的一种最根本的解题策略，即把一个简单问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的构造，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案。每个比较简单的问题都可以用这种解题策略。
例 30030 能被多少个不同偶数整除？
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变式训练：
1.〔2025 全国Ⅰ〕将 1，2，3 填入 3×3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一
种填法，则不同的填写方法共有 种。
𝑎1，𝑎2，… ，𝑎𝑛是1，2，… ，𝑛的一个排列，把排在𝑎𝑖的左边且比𝑎𝑖小的数的个数称为𝑎𝑖 的挨次数(𝑖 = 1，2，… ，𝑛).如在排列 6，5，4，3，2，1 中，5 的挨次数为 1，3
在由 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字构成的全排列中，同时满足8 的挨次数为 2，7 的顺
序数为 3，5 的挨次数为 3 的不同排列的种数为
1
A = {(x , x , x , x )| x
Î{-1,0,1},i = 1,2,3,4} ，那么集合 A 中满足条件：
1
1 2 3 4 i
1
“ x2 + x2 + x2 + x2
£ 4 ”的元素个数为
1
1 2 3 4
𝐴 = {(𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5)|𝑥𝑖 ∈ {−1，0，1}，𝑖 = {1，2，3，4，5}，那么集合 A 中满足条件“1 ≤ |𝑥1| + |𝑥2| + |𝑥3| + |𝑥4| + |𝑥5| ≤ 3”的元素个数为
如下图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A，B 的六个点C 、C 、…、C ，直径AB 上有
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异于 A、B 的四个点D 、D 、D 、D .则：
1 2 3 4
以这 12 个点(包括A，B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？
以这10 个点(不包括A，B)中的 3 个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点 C 的有多
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少个？
将 25 人排成 5×5 方阵，从中选出 3 人，要求其中任意 2 人既不同行也不同列，则不同的选法为 种。
学生在拼写“hollywood”可能的拼写错误有 种。
将 20 个一样的小球，全部装入编号为 1，2，3 的三个盒子里，每个盒子内所放的球数不小于盒子的编号数，则共有 种不同的放法。
9.〔2025 静安区一模〕两名高一学生被允许参与高二年级象棋竞赛，每两名参赛选手之间都竞赛一次，胜者得1 分， 分，输者得 0 分；两名高一学生共得8 分，，且每名高二学生都得一样分数，则有 名高二学生参赛。
大路上有编号为 1，2，3…，9 九只一样路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有 种。
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有 7 个灯泡排成一排，现要求至少点亮其中的 3 个灯泡，且相邻的灯泡不能同时点亮，则不同的点亮方法有 种。
方程 x + y + z + w = 100 ，这个方程的自然数解的组数为
1
如图，点P ， P ，…， P
分别是四周体顶点或棱的中点，则在同一平面上的四点组
1
1 2 10
(P ，P ，P ，P )(1 < i < j < k ≤10)有 个。
1 i j k
P1
P2 P4
P3
P7
P P
10 9
P5 P8
P6
1
将正方体ABCD-AB C D
的各面涂色，任何图相17邻-2 两个面不同色，现在有5 个不同的颜色，并且
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1 1 1 1
涂好了过顶点 A 的 3 个面的颜色，那么其余 3 个面的涂色方案共有 种。
用四种不同的颜色为正六边形〔如图〕中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色， 一共有 种不同的涂色方法。
平面上给定 10 个点，任意三点不共线，由这10 个点确定的直线中，无三条直线交于同一点
〔除原 10 点外〕，无两条直线相互平行。
求：〔1〕这些直线所交成的点的个数〔除原10 点外〕？
〔2〕这些直线交成多少个三角形？
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依据以下要求，分别求有多少种不同的方法？
〔1〕6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子；
〔2〕6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
〔3〕6 个一样的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
〔4〕6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，恰有 1 个空盒．
包含甲在内的甲、乙、丙3 个人练习传球，设传球n 次，每人每次只能传一下，首先从甲手中传出，第 8 次仍传给甲，共有多少种不同的方法？
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