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= v cos 60o = 4m/s 从 C 到 D 的过程中，依据能量守恒定律 1 E = m mgx + mv2 C、D 两点间的距离 p 2 D x = 2m 某校兴趣小组制作了一个玩耍装置，其简化模型如下图，在 A 点用一弹射装置可 将 静止的小滑块以 v 0 水平速度弹射出去，沿水平直线轨道运动到 B 点后，进入半径 R= 的光滑竖直圆形轨道，运行一周后自 B 点向 C 点运动，C 点右侧有一陷阱，C、D 两点的 竖 直高度差 h=，水平距离 s=，水平轨道 AB 长为 L =1m，BC 长为 L =， 1 2 小滑块与 水平轨道间的动摩擦因数 μ=，重力加速度 g=10m/s2. 假设小滑块恰能通过圆形轨道的最高点，求小滑块在 A 点弹射出的速度大小； 【答案】〔1〕 〔2〕5m/s≤vA≤6m/s 和vA≥ 假设玩耍规章为小滑块沿着圆形轨道运行一周离开圆形轨道后只要不掉进陷阱即为胜出， 求小滑块在 A 点弹射出的速度大小的范围． 【解析】 【分析】 【详解】 〔1〕小滑块恰能通过圆轨道最高点的速度为v，由牛顿其次定律及机械能守恒定律 1 由 A 到 B： 解得A 点的速度为 由 B 到最高点 2
mv2 B 1 = 2mgR + 2 mv2 〔2〕假设小滑块刚好停在C 处，则： 解得A 点的速度为 假设小滑块停在 BC 段，应满足3m / s £ vA £ 4m / s 假设小滑块能通过C 点并恰好越过壕沟，则有h = 1 gt 2 2 s = v t c 解得 所以初速度的范围为3m / s £ v £ 4m / s 和v ³ 5m / s A A 某游乐场拟推出一个型滑草消遣工程，简化模型如下图。游客乘坐的滑草车〔两者的总质量为60kg 〕，从倾角为q = 53° 的光滑直轨道 AC 上的 B 点由静止开头下滑，到达C 点后进入半径为 R = 5m ，圆心角为q = 53° 的圆弧形光滑轨道CD ，过 D 点后滑入倾 角为a 〔 a 可以在0剟a 75° 范围内调整〕、动摩擦因数为m = 3 的足够长的草地轨道 3 DE 。 D 点处有一小段光滑圆弧与其相连，不计滑草车在D 处的能量损失， B 点到 C 点的距离为 L 0 =10m ， g = 10m/s 。求： 滑草车经过轨道D 点时对轨道 D 点的压力大小； 滑草车第一次沿草地轨道DE 向上滑行的时间与a 的关系式； a 取不同值时，写出滑草车在斜面上抑制摩擦所做的功与tana 的关系式。 【答案】(1) 【解析】 【分析】 【详解】
3000N ； t = æ çsina + 3 cosa ÷ ö (2) è 2 ；(3) 3 ø
见解析 依据几何关系可知CD 间的高度差 从 B 到 D 点，由动能定理得 H = R (1 - cos53 °)= 2m CD ) 1 mg (L sin 53° + H = mv 2 - 0 0 CD 2 D 解得 v = 10 2m/s D 对 D 点，设滑草车受到的支持力F D ，由牛顿其次定律 D F - mg = m v 2 D R 解得 F = 3000N D 由牛顿第三定律得，滑草车对轨道的压力为3000N 。 滑草车在草地轨道DE 向上运动时，受到的合外力为 F = mg sina + mmg cosa 合 由牛顿其次定律得，向上运动的加速度大小为 F a = 合= g sina + mg cosa m 因此滑草车第一次在草地轨道DE 向上运动的时间为 v 代入数据解得 t = g sina +Dmg cosa t = 2 æsina + 3 cosa ö ç ÷ è 3 ø 选取小车运动方向为正方向。 ①当a = 0 时，滑草车沿轨道DE 水平向右运动，对全程使用动能定理可得 代入数据解得 mg [L 0 sinq + R(1- cosq)]+W f 1 =0 - 0 W = -6000J f 1 故当a = 0 时，滑草车在斜面上抑制摩擦力做的功为 ②当0 < a £ 30° 时，则 W = 6000J 克1 g sina £ mg cosa 滑草车在草地轨道DE 向上运动后最终会静止在DE 轨道上，向上运动的距离为 2 v2 摩擦力做功为 x = 2(g sina +Dmg cosa) W = -mmg cosa × x 联立解得 f 2 2 W = - f 2 6000 3 tana +1 (J) 故当0 < a £ 30° 时，滑草车在斜面上抑制摩擦力做的功为 6000 ③当30° < a £ 75° 时 W = 克2 3 tana +1 (J) g sina > mg cosa 滑草车在草地轨道DE 向上运动后仍会下滑，假设干次来回运动后最终停在D 处。对全程使用动能定理可得 代入数据解得 mg [L 0 sinq + R(1- cosq)]+W f 3 W = -6000J f 3 =0 - 0 故当30° < a £ 75° 时，滑草车在斜面上抑制摩擦力做的功为 W = 6000J 克3 所以，当a = 0 或30° < a £ 75° 时，滑草车在斜面上抑制摩擦力做的功为6000J；当 0 < a £ 30° 时，滑草车在斜面上抑制摩擦力做的功为 6000 (J) 。 3 tana +1 如下图，在某竖直平面内，光滑曲面AB 与水平面 BC 平滑连接于 B 点，BC 右端连接内壁光滑、半径 r= 的四分之一细圆管 CD，管口 D 端正下方直立一根劲度系数为k=100N/m 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D 端平齐，一个质量为 1kg 的小 球放在曲面 AB 上，现从距 BC 的高度为 h= 处静止释放小球，它与 BC 间的动摩擦因数 μ=，小球进入管口 C 端时，它对上管壁有 FN= 的相互作用力，通过 CD 后，在压缩弹簧过程中滑块速度最大时弹簧弹性势能Ep=。取重力加速度 g=10m/s2。求： 小球在 C 处受到的向心力大小； km 在压缩弹簧过程中小球的最大动能E ； 小球最终停顿的位置。 【答案】(1)35N；(2)6J；(3)距离 B 或距离 C 端 【解析】 【详解】 小球进入管口 C 端时它与圆管上管壁有大小为F = 的相互作用力 故小球受到的向心力为 F 向
= + mg = = ´1´10 = 35N 在 C 点，由 代入数据得
v2 F = c 向 r 1 mv2 2 c = 在压缩弹簧过程中，速度最大时，合力为零，设此时滑块离D 端的距离为 x0 则有 kx = mg 0 解得 x = mg = 0 k 设最大速度位置为零势能面，由机械能守恒定律有 1 mg (r + x ) + mv2 = E + E 0 2 c 得 1 km p E = mg(r + x ) + mv2 - E = 3 + - = 6J km 0 2 c p 滑块从 A 点运动到 C 点过程，由动能定理得 mg × 3r - m mgs = 解得 BC 间距离
1 mv2 2 c s = 1 小球与弹簧作用后返回 C 处动能不变，小滑块的动能最终消耗在与BC 水平面相互作用的过程中，设物块在 BC 上的运动路程为s¢ ，由动能定理有 -m mgs¢ = - mv2 2 c 解得 s¢ = 故最终小滑动距离 B - = . 【点睛】 经典力学问题一般先分析物理过程，然后对物体进展受力分析，求得合外力及运动过程做功状况，然后依据牛顿定律、动能定理及几何关系求解。 如下图，一根轻弹簧左端固定于竖直墙上，右端被质量m = 1kg 可视为质点的小物块压缩而处于静止状态，且弹簧与物块不栓接，弹簧原长小于光滑平台的长度．在平台的右 端有一传送带， AB 长 L = 5m ，物块与传送带间的动摩擦因数m 1 = ，与传送带相邻的粗糙水平面 BC 长 s=，它与物块间的动摩擦因数m 2 = ，在C 点右侧有一半径为R 的光滑竖直圆弧与BC 平滑连接，圆弧对应的圆心角为q = 120o，在圆弧的最高点F 处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来．假设传送带以v = 5m / s 的速率顺时 针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失．当弹簧储存的E = 18J 能量全部 p 释放时，小物块恰能滑到与圆心等高的E 点，取 g = 10m / s2． 求右侧圆弧的轨道半径为 R; 求小物块最终停下时与C 点的距离; 假设传送带的速度大小可调，欲使小物块与挡板只碰一次，且碰后不脱离轨道，求传送带速度的可调整范围． 【答案】〔1〕 R = ；〔2〕 x = 【解析】 【分析】 【详解】 1 3 m ；〔3〕 37m / s £ v £ 43m / s 物块被弹簧弹出，由E = p mv2 ，可知： v 1 2 0 0= 6m / s 由于v > v ，故物块滑上传送带后先减速物块与传送带相对滑动过程中， 0 由： m mg = ma 1 ， v = v 1 0 a t ， x 1 1 1 = v t 0 1 a t 2 1 2 1 1 得到： a = 2m / s2 ， t 1 1 = ， x 1 = 由于 x < L ，故物块与传送带同速后相对静止，最终物块以5m / s 的速度滑上水平面 1 v2m = 1 m BC，物块滑离传送带后恰到 E 点，由动能定理可知： 2 代入数据整理可以得到： R = ． mgs + mgR 2 设物块从E 点返回至B 点的速度为v ，由 mv2 - mv2 = m mg ´ 2s 1 1 B 2 2 B 2 得到v = 7m / s ，由于v > 0 ，故物块会再次滑上传送带，物块在恒定摩擦力的作用 B B 下先减速至 0 再反向加速，由运动的对称性可知其以一样的速率离开传送带，设最终停在 距 C 点 x 处，由 1 mv2 = m mg (s - x )
，得到： 1 x = m . 2 B 2 3 2 设传送带速度为v1时物块能恰到F 点，在F 点满足mg sin30 o = m v F 1 从 B 到 F 过程中由动能定理可知：
1 mv2 - mv2 = m R mgs + mg (R + R sin 30o ) 解得： 2 1 2 F 2 设传送带速度为v 2时，物块撞挡板后返回能再次上滑恰到E 点， 1 由： 2 mv 2 = m 2 mg ´ 3s + mgR 2 解得： v 2 = 43m / s mv2
- 1 mv2 = m
mgL 1 假设物块在传送带上始终加速运动，由 2 Bm 2 0 1 知其到B 点的最大速度v Bm = 56m / s 综合上述分析可知，只要传送带速度 37m / s £ v £ 【点睛】 43m / s 就满足条件． 此题主要考察了牛顿其次定律、动能定理、圆周运动向心力公式的直接应用，此题难度较大，牵涉的运动模型较多，物体情境简单，关键是依据运动的过程逐步分析求解． 如下图，在竖直平面内的光滑固定轨道由四分之一圆弧AB 和二分之一圆弧 BC 组成，两者在最低点 B 平滑连接．过 BC 圆弧的圆心 O 有厚度不计的水平挡板和竖直挡板各一块，挡板与圆弧轨道之间有宽度很小的缝隙．AB 弧的半径为 2R，BC 弧的半径为 2R 径略小于缝宽的小球在 A 点正上方与 A 相距 3 处由静止开头自由下落，经 A 点沿圆弧轨 道运动．不考虑小球撞到挡板以后的反弹． 通过计算推断小球能否沿轨道运动到C 点． 假设小球能到达 C 点，求小球在 B、C 两点的动能之比；假设小球不能到达C 点，恳求出小球至少从距 A 点多高处由静止开头自由下落才能够到达C 点． 使小球从 A 点正上方不同高度处自由落下进入轨道，小球在水平挡板上的落点到O 点的距离 x 会随小球开头下落时离 A 点的高度 h 而变化，请在图中画出 x2 h 图象．(写出计算过程) 1 【答案】(1) 3 mg (2) 4∶1 (3) 过程见解析 【解析】 【详解】 假设小球能沿轨道运动到 C 点，小球在 C 点所受轨道的正压力 N 应满足 N≥0 C 设小球的质量为 m，在 C 点的速度大小为 v ，由牛顿运动定律和向心加速度公式有 N＋mg＝ mv 2 C R 小球由开头下落至运动到 C 点过程中，机械能守恒，有 = 2mgR 1 mv2 由两式可知 小球可以沿轨道运动到 C 点. 3 2 C 1 N＝ 3 mg kC 小球在 C 点的动能为 E ，由机械能守恒得 2mgR E C ＝ k 3 设小球在 B 点的动能为 EkB，同理有 8mgR EkB＝ 3 得 kC EkB∶E ＝4∶1． 小球自由落下，经 ABC 圆弧轨道到达C 点后做平抛运动。由动能定理得： 1 由平抛运动的规律得： mgh = mv 2 2 C 解得： 由于 x＜ 3R ，且v ³ C R = 1 gt 2 2 x=vCt Rh x = 2 gR 所以 R £ h＜3R
