高中数学题库_A集合与简易逻辑绝对值不等式.doc

解关于x的不等式,其中a>0.
答案:
解:等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)…2分(Ⅰ)等价于…3分的△=1-4a,当时,△>0,其解为…4分∵1-4a<1.∴(Ⅰ)的解集为.…5分当时,△<0.(Ⅰ)的解集为φ.…7分
(Ⅱ)等价于…8分,的△=1+4a>0其解为…9分∵a>0,1+4a>1..∴(Ⅱ)的解集为…10分
综上得当时,原不等式解集为
当时,原不等式解集为…12分
来源:
题型:解答题,难度:较难解关于x的不等式|x-a|<ax(a>0).
答案:
解:|x-a|<ax(a>0) 2分
①a>1时,,∴x>. 6分
②a=1时,∴x>. 8分
③0<a<1时,,∴<x<. 10分
综上,a≥1时,解集为[,+∞];0<a<1时,解集为(,).12分
来源:
题型:解答题,难度:容易
解不等式
答案:
原不等式等价于, ……2分
移项,通分得……6分
由已知,所以解①得,
解②得或……10分
故原不等式的解集为……12分
来源:
题型:解答题,难度:中档
已知p:∣1-2x∣≤ 5,q:x2-4x+4-9m2 ≤ 0 (m>0),若p是q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.
答案:
解:解不等式可求得:
p:-2≤x≤3, q:2-3m≤x≤2+3m (m>0).
则 p:A={x∣x<-2或x>3},
q:B={x∣x<2-3m或x>2+3m,m>0.
由已知 p q,得AB,从而
.
(上述不等式组中等号不能同时取).
经验证为所求实数m的取值范围.
来源:
题型:解答题,难度:中档
解不等式:+ >0
答案:
解:原不等式可化为+ >0 Û >0 2分
Û >0 且| x | ≠ 0 4分
Û (| x |-1)(| x |-)>0且| x | ≠ 0 6分
Û | x |>或0<| x |<1 8分
∵ | x |>Û x>或x<-,
0<| x |<1 Û -1<x<0或0<x<1. 10分
∴ 原不等式的解集是(-¥,-)∪(-1,0)∪(0,1)∪(, + ¥)。 12分
来源:
题型:解答题,难度:较难
设是定义在区间上的函数,且满足条件:
(i)
(ii)对任意的
(Ⅰ)证明:对任意的
(Ⅱ)判断函数是否满足题设条件;
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数,且使得对任意的若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.
答案:
(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当时,有
即
(Ⅱ)答::
对任意的,
当
当
当不妨设
有
所以,函数满足题设条件.
(Ⅲ)答::
假设存在函数满足条件,则由得①
由于对任意的,都有
所以,②①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在.
来源:03北京市
题型:解答题,难度:较难
已知命题p:{x||1-|≤2,x∈R},和命题q:{x|x2-2x+1-m2>0,m<0,x∈R},若非p是q的充分非必要条件,求实数m的取值范围.
答案:
解:由|1-|≤2得-2≤x≤10 2分
非p:A={x|x>10或x<-2} 4分
因m<0,由x2-2x+1-m2>0(m<0)得
命题q:B={x|x<1+m或x>1-m} 7分
又因为非p是q的充分非必要条件,所以AB 9分
所以,得-3≤m<0. 12分
来源:
题型:解答题,难度:中档
已知f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(0)=f(1),又P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上的任意两个点(x1≠x2),
(1)求证:函数f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形。
(2)设直线PQ的斜率为k,求证:|k|<2.
(3)若0≤x1<x2≤1,求证:|y1-y2|<1.
答案:
证明:(1)∵f(0)=f(1) ∴b=1+a+b ∴a=-1 ∴f(x)=x3-x+b
设(x0,y0)是y=f(x)的图象上的任意一点,则y0=f(x0)=x03-x0+b
∴-y0=-x03+x0-b=(-x03)-(-x0)-b
∴2b-y0=(-x03)-(-x0)+b
故点(- x0,2b-y0)也在y=f(x)的图象上
又点(x0,y0)与点(-x0,2b-y0)关于点(0,b)对称,进而有点(x0,y0)的任意性,得函数f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形
所以函数f(x)的图象是中心对称图形,且对称中心为点(0,b)(5分)
解法二:(1)∵f(0)=f(1) ∴b=1+a+b ∴a=-1 ∴f(x)=x3-x+b
易知y=x3-x是奇函数