高考重难点专题突破-不等式.docx

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高考重难点专题突破之——不等式
一、 综述〔内容、地位、作用〕：
在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的局部为必修 5 第三章《不等式》。另外，在实际教学过程中，在学到必修5《不等式》之前的某些章节〔如集合、函数的值域等〕，无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，教师们根本上都要对选修 4-5 中的局部根底性内容进展选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修 5 第三章《不等式》以及选修系列4-5《不等式选讲》。综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三局部，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。
不等式是中学数学的主干内容之一， 它不仅是中学数学的根底学问，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有根底性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题〔理科附加卷除外〕，但无论从它所涉及到的学问点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广〔甚至有些题目很难界定其中对不等式的考察所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值〕，试题不仅考察了不等式的根底学问、根本技能、根本思想方法，还考察了运算力量、规律思维力量以及分析问题和解决问题的应用力量等数学素养。
在高考命题趋势上，不等式的考察极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚点主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考察不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等学问为背景，在学问网络的交汇处命题，综合性强，力量要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的争论联系在一起，考察学生的等价转化力量和分类争论力量；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考察学生阅读理解力量以及分析问题、解决问题的力量。
二、 考试要求与教学建议：
〔一〕 必修 5 局部
课标在对“必修 5”《不等式》一章的说明中指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的根本数量关系，是数学争论的重要内容……把握求解一元二次不等式的基
本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简洁的二元线性规划问题；生疏根本不等式及其简洁应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。”由此，我们大致可以看出教材对于本局部的根本要求以及高考的 考察要点。
本局部的课标建议课时为大约 16 课时。相应的说明与建议主要有：
1、 一元二次不等式教学中，应留意使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后依据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓舞学生设计求解一元二次不等式的程序框图。
2、 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个根本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。
3、 线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的根本思想，借助几何直观解决一些简洁的线性规划问题，不必引入很多名词。
〔二〕 不等式选讲局部
此局部文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”局部有所讲解，次不赘述。
本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的规律思维力量和分析解决问题的力量。从文理科学习之间的异同的角度，我们可以将本专题内容分为两局部：前半局部，文理科同等要求，且均在必修过程中已根本讲解到位；后半局部，只对理科生做简洁要求，即高考时所考题目难度不大，根本上可直接套用公式，或只需经简洁并行即可套用公式，同时，也不是必做题。
下面，我们把课标中的内容与要求重点性的摘录于此，以供诸位师生探讨，同时也作为本局部内容的一个根本总结，后文将不再具体开放。
1、 理解确定值的几何意义，并能利用确定值不等式的几何意义证明三角不等式等。
2、 生疏柯西不等式的几种不同形式。
3、 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简洁问题。
4、 会用上述不等式证明一些简洁问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些
3
特定函数的极值。
5、 通过一些简洁问题了解证明不等式的根本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。
三、 考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”
〔一〕、不等式的性质
1、不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和娴熟运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进展条件的放宽和加强。
2、两个实数的大小：
a - b > 0 Û a > b ； a - b = 0 Û a = b ； a - b < 0 Û a < b
3、不等式的根本性质：
不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．
假设a > b ，那么a ± c > b ± c .
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
假设a > b, c > 0 ，那么ac > bc 〔或 a > b 〕.
c c
〔3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向转变．
a b
假设a > b , c < 0 ,那么ac < bc 〔或 c < c 〕 由上面三条可以衍生出如下的性质：
a > b Û b < a 〔对称性〕
a > b, b > c Þ a > c 〔传递性〕
a > b Þ a + c > b + c 〔加法单调性〕
a > b, c > d Þ a + c > b + d 〔同向不等式相加〕
a > b, c < d Þ a - c > b - d 〔异向不等式相减〕
a > b, c > 0 Þ ac > bc
a > b, c < 0 Þ ac < bc 〔乘法单调性〕
a > b > 0, c > d > 0 Þ ac > bd 〔同向不等式相乘〕
3
(9) a > b > 0,0 < c < d Þ a > b
3
(10) a > b, ab > 0 Þ
c d 〔异向不等式相除〕
1 < 1
3
〔11〕 a > b > 0 Þ an
n a
〔12〕 a > b > 0 Þ
4．例题：
a b 〔倒数关系〕
bn (n Î Z , 且n > 1) 〔平方法则〕
n b (n Î Z , 且n > 1) 〔开方法则〕
3
〔1〕-1 £ x + y £ 1 ，1 £ x - y £ 3 ，则3x - y 的取值范围是
〔答：1 £ 3x - y £ 7 〕；
c
〔2〕a > b > c ，且a + b + c = 0, 则 a 的取值范围是
æ -2, - 1 ö
ç 2 ÷
〔答： è ø 〕
〔二〕解一元一次不等式〔组〕
一元一次不等式
定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是 1．系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式．
注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O 或 ax+b<O(a≠O，a，b 为数)．
解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为 1．
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必需转变，这是解不等式时最简洁出错的地方．
一元一次不等式组
定义：含有一样未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组， 叫做一元一次不等式组．
说明：推断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成 不等式组的每一个不等式必需是一元一次不等式，且未知数一样；②不等式 组中不等式的个数至少是 2 个，也就是说，可以是2 个、3 个、4 个或更多．
3
2. 2 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共局部．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．
不等式组
图示
ìx > a
解集
x > a
íx > b
î
b
a
〔同大取大〕
ìx < a
íx < b
î
b
a
x < b
〔同小取小〕
ìx < a
íx > b
î
b
a
b < x < a
〔 大小穿插取中间〕
ìx > a
íx < b
a
无解
î
b
〔 大小分别
解为空〕
3. 不等式组解集确实定方法，可以归纳为以下四种类型〔设a>b〕
2．
分别求出不等式组中各个不等式的解集；
利用数轴求出这些解集的公共局部，即这个不等式组的解集．
例题讲解
ìx - 2(x -1) £ 3
ï
í 2x + 5 > x
【例 1】 解不等式组ïî 3 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
-1 0 1 2 3 4 5
解:解不等式①得 x ³ -1，解不等式②得 x < 5 ，不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
∴原不等式组的解集是- 1 £ x £ 5 .
〔三〕解一元二次不等式〔组〕
1：一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。
3
，则相应的不等式的解集的各种状况如下表：
或
.
一元二次不等式的解集可以联系二次函数
的图
比方：
.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：
2：一般的一元二次不等式的解法：
象，图象在 轴上方局部对应的横坐标 值的集合为不等式
的解集.
设一元二次方程
的两根为
且
，
的解集， 图象在 轴下方局部对应的横坐标 值的集合为不等式
(a>0)的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
{x | x < x 或x > x }
1 2
注：表中不等式的二次系数均为正，假设不等式的二次项系数为负，可先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后争论解决；
3：规律方法指导
解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；假设为负，则将其变为正数； ．假设相应方程有实数根，求根时留意敏捷运用因式分解和配方法；
3
．写不等式的解集时首先应推断两根的大小，假设不能推断两根的大小应
3
分类争论； ．依据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； ．假设所给不等式最高项系数含有字母，还需要争论最高项的系数
〔四〕．解分式不等式
形如 f(x)/g(x)>0 或 f(x)/g(x)<0〔其中 f(x)、g(x)为整式且g(x)不为０〕的不等式称为分式不等式。
通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式。
3
归纳分式不等式的解法：〔不知道分母正负的时候〕
化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式
将分式不等式进展形如以下四类的等价变形：
f (x) > 0 Û
〔1〕 g(x) f (x)g(x) > 0
f (x) < 0 Û

f (x)
g(x)
3
〔2〕
〔3〕
〔4〕
g(x)
f (x) ³ 0 Û
g(x)
f (x) £ 0 Û
g(x)
f (x)g(x) < 0
í
ì f (x)g(x) ³ 0
îg(x) ¹ 0
í
ì f (x)g(x) £ 0
îg(x) ¹ 0
x - 3 < 0
3
：解不等式： x + 7 .
解法 1：化为两个不等式组来解：
3
x - 3
ìx - 3 > 0 ìx - 3 < 0
í
í
或
3
< 0
∵ x + 7 Û
îx + 7 < 0 îx + 7 > 0 Û

x ∈ φ 或
3
- 7 < x < 3 Û - 7 < x < 3，
{x | -7 < x < 3}
∴原不等式的解集是 .
3
解法 2：化为二次不等式来解：
x - 3 < 0
∵ x + 7
Û (x - 3)(x + 7) < 0 Û - 7 < x < 3，∴原不等式的解集
是
{x | -7 < x < 3}
点评：提倡用解法 2，避开分类争论，提高解题速率。
x - 3 £ 0
变式 1：解不等式 x + 7
x - 3 £ 0
解：Q x + 7
Û (x - 3)(x + 7) £ 0且x ¹ -7 Û - 7 < x £ 3
\原不等式的解集是{x| -7<x£ 3}
变式 3：解不等式 x - 3 < 1
x + 7
Q x - 3
< 1 Û
x - 3 -1 < 0 Û
- 10
< 0 \ x > -7
解： x + 7 x + 7 x + 7
\原不等式的解集是{x x > -7}
注：假设知道分母的正负，则可以去分母，化分式不等式为整式不等式。
〔五〕．解高次不等式〔可分解的〕
解高次不等式的步骤：
因式分解
未知数系数化正
穿根〔从右上角开头，奇穿偶回〕
穿根法使用步骤：
①将不等式化为(x - x
1

)(x - x
2

)(x - x
3

)L(x - x
n

) > 0(< 0) 形式，并
将各因式x 的系数化“+”；
②求方程
(x - x
1
)(x - x
2
)(x - x
3
)L(x - x
n
) = 0

各根，并在数轴上表
示出来〔从小根到大根按从左至右方向表示〕。
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点
④假设不等式〔x 的系数化“+”后〕是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；假设不等式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.
8
10
+
- x x - x
1 2 3
+ +
x - x
n
说明：留意不等式假设带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；
例题讲解：
例 ： x 2 - 3x + 2 £ 0 .
x 2 - 2x - 3
10
x 2 - 3x + 2 £ 0
ìï(x 2 - 3x + 2)(x 2 - 2x - 3) £ 0
10
解：∵ x 2
- 2x - 3
Û í Û
10
ïîx 2
ì(x -1)(x - 2)(x - 3)(x + 1) £ 0
í
- 2x - 3 ¹ 0
10
î(x - 3)(x + 1) ¹ 0 ，用穿根法〔零点分段法〕画图如下：
+
+
+
-1
-
1
2 -
3
∴原不等式的解集为{x| -1<x£ 1 或 2 £ x<3}.
例 2 解不等式：(x - 2) 2 (x - 3)3 (x + 1) < 0 .
解：①检查各因式中x 的符号均正；
②求得相应方程的根为：-1，2，3〔留意：2 是二重根，3 是三重根〕；
③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次〔自右上方开头〕，如以下图：
④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2 或 2<x<3}.
说明：∵3 是三重根，∴在 C 处穿三次，2 是二重根，∴在 B 处穿两次， ，当左侧f(x)有一样因式(x-x1)n 时，n 为奇数时， 曲线在x1 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x1 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.
〔六〕解无理不等式
：根号下含有未知数的不等式。
2、无理不等式的类型〔高考对这方面的要求不太高〕
10