函数逼近省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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切比雪夫多项式
勒让德多项式
正交多项式应用
函数迫近
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问题. 求二次多项式 P(x)= a0 + a1x + a2x2 使
连续函数最正确平方迫近
已知 f(x)∈C[0, 1], 求多项式
P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + …… + an x n
使得
令
函数迫近与希尔伯特矩阵
第2页
系数矩阵被称为Hilbert矩阵
令
记
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设 f(x), g(x)∈C[a, b], ρ(x)是区间[a,b]上权函数,若等式
成立,则称f(x), g(x)在[a, b]上带权ρ(x)正交.
当ρ(x)=1时,简称正交。
例1 验证 0(x)=1, 1(x)=x 在[ –1, 1]上正交,
并求二次多项式 2(x) 使之与0(x), 1(x)正交
解:
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设 2(x) = x2 + a21x + a22
所以,
a22= - 1/3
a21=0
2/3+2a22 = 0
2a21/3=0
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切比雪夫多项式
T0(x)=1, T1(x)= cos = x, T2(x)=cos2 ······
Tn(x)=cos(n),·········
有 cos(n+1)=2 cos cos(n) – cos(n-1) ，从而
Tn+1(x) = 2 x Tn(x) – Tn-1(x) (n ≥ 1)
所以, T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x2 – 1 , ···,
Tn(x)=cos(narccos(x)),·········
:
由 cos(n+1)+ cos(n-1) =2 cos cos(n)
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(m ≠ n)
所以,切比雪夫多项式在[– 1 , 1]上带权
正交

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n阶Chebyshev多项式: Tn=cos(n),
或, Tn( x ) = cos(n arccos x )
(k=0,1,···,n-1 )
取
T1=cos=x
即
(k=0,1,···,n-1 )
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Tn(x) 最高次项 xn 系数为 2n – 1
全部最高次项系数为1n次多项式中,
Pn(x)= 21 – n Tn(x)
则
比如 tk= –1+ ( k = 0, 1, 2, ···, 10)
( k = 0, 1, 2, ···, 10)
 P11(x)=(x – x0)(x – x1)······(x – x10)
Q11(x)=(x – t0)(x – t1)······(x – t10)
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勒让德(Legendre)多项式
P0(x) = 1, P1(x) = x
(n ≥ 1)
2. 正交性
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