微积分下第一分册872极坐标下计算省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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设 为一个给定二重积分，
其中被积函数
在积分区域D上连续，
现作变量替换
经过此变换后原来xy平面上区域D变换为uv平面
而这个变换逆变换为
上区域 ，
假如这个变换满足：
(1)
在
上含有一阶连续偏导数；
(2) 在
上雅可比式
(3)
D与 点之间有一一对应关系;则有
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二重积分变量替换公式
面积元素
雅可比行列式
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解
例
计算
其中
由
轴、
轴和
所围成闭区域。
则
令
即
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故
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平面上任意一点直角坐标(x,y),极坐标
上式可看成是从极坐标平面
到直角坐标平面
一个变换，
即对于
平面上一点
经过上式变换，
且
这种变换是一对一。
平面上一点
变成
3、极坐标下计算二重积分
极点 原点
r为点(x,y)到原点距离
为向量(x,y) 倾斜角度
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所以由二重积分变量替换公式，可得到极坐标系下
二重积分改变公式为
要计算极坐标系下二重积分，一样要把二重积分化为极坐标系下关于r和 累次积分。
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二重积分化为累次积分公式（１）
区域特征如图
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区域特征如图
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二重积分化为累次积分公式（２）
区域特征如图
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二重积分化为累次积分公式（３）
区域特征如图
当积分区域为圆域、圆环域或部分圆域，
宜采取极坐标。
且
被积函数又呈
或
时，
注：
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