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离散数学群与环省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx


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离散数学 陈志奎主编
人民邮电出版社
第1页
本章将讨论特殊代数系统——群与环。群是含有一个二元运算抽象代数。半群与群在形式语言、快速加法器设计、纠错码定制和自动机理论中都有卓有成效应用。环是含有两个二元运算代数系统,它和群以及半群有亲密联络。
群最初是由Evariste Galois在1830年所提出,它应用于满足一些性质一个有限集一系列置换中。Galois于1811年生于法国巴黎,直到12岁才进入巴黎一所公立中学学习,在此之前,他在家中有母亲进行教育。16岁时,完全沉醉在数学学习之中,以至于忽略了其它课程学习。两次参加Ecole Polytechnique入学考试,但均未经过,最终进入Ecole Normale研究所进修。
1830年法国革命期间,Galois因为指责其学校领导而被学校开除。另外Galois还曾因为政治活动二被捕入狱。在1832年5月30日,他在一场决斗中受伤,并在第二天逝世,年仅20岁。在决斗前,Galois留了一封信给他一位朋友,信中详细描述了他研究结果。他结果对于当初人来书实在太超前了,所以直到1870年他全部研究结果才完全展现在世人面前。
概述
第2页
PART
01
PART
02
PART
03
半群

子群与群陪集分解
PART
04
环与域
PART
05
循环群与置换群
内容安排
第3页
给定<S,⊙>,若⊙满足结合律,则称<S,⊙>为半群。
可见,半群就是由集合及在此集合上一个含有集合率二元运算组成代数系统。
半群就是非空集合S以及一个定义在S上可结合二元运算⊙,将用<S,⊙>表示半群,或者当运算⊙很清楚时能够简记为S。另外还能够把a⊙b看成是a和b积。假如⊙是一个可交换二元运算,则称半群<S,⊙>是一个可交换半群。
半群
第4页
例 <Z,+>是一个可交换半群。因为加法满足结合率,同时加法是可交换,所以<Z,+>是一个可交换半群。
例 集合Z以及普通意义下除法运算就不组成一个半群,因为除法运算不是可结合。
例 集合P(S),其中S是一个集合,加上并运算,它就组成一个交换半群。因为并运算满足结合律和交换律。
半群
第5页
:给定<M,⊙>,若<M,⊙>是半群且⊙有幺元或⊙满足结合律且拥有幺元,则称<M,⊙>为独异点或含幺半群或拟群。
给定<N,+>和<N,*>,其中N是自然数集合,+和*为普通意义下加法和乘法。易知<N,+>和<N,*>都是半群,而且还是独异点。因为0是+幺元,1是*幺元。
< ,+>,<N,+>,<Q,+>,<R,+>,<C,+>都是半群,+是普通意义下加法,在这些半群中,除< ,+>外都是独异点。其余几个中含有幺元0,而< ,+>中无幺元存在。
半群
第6页
给定半群<S,⊙>和g∈S,以及自然数集合N,则g为<S,⊙>生成元有:(∀x)(x∈S→(∃n)(n∈N∧x = ))。此时也说,元素g生成半群<S,⊙>,而且称该半群为循环半群,g为生成元。
给定半群<S,⊙>及G⊆S,则G为<S,⊙>生成集:(∀a)(a∈S→a=⊙(G))∧min|G|这里⊙(G)表示用G中元素经⊙复合而生成元素。类似地定义独异点<M,⊙,e>生成集。
半群
第7页
: 给定<N,+>,其中N是自然数集合,+为普通意义下加法,则<N,+>是无穷循环独异点,0是幺元,1是生成元。
令半群<S,*>,其中S={a,b,c,d},*,试证实生成集G={a,b}。
半群
*
A
b
c
d
a
D
c
b
a
b
B
b
b
b
c
C
c
c
c
d
A
b
c
d
第8页
:给定半群<S,⊙>及非空集合T⊆S,若T对⊙封闭,则称<T,⊙>为<S,⊙>子半群。
:给定半群<S,⊙>以及任意a∈S,则有<{a,a2,a3,…},⊙>是<S,⊙>循环子半群。
:给定半群<S,⊙>以及任意a∈S,证实<{a, ,},⊙>是循环子半群。
半群
第9页
给定两个半群<S,⊙>和<T,*>。称<S×T,⊗>为<S,⊙>和<T,*>积半群,其中S×T为集合S与T笛卡儿积,运算⊗定义以下:<s1,t1>⊗<s2,t2> =<s1⊙s2,t1*t2>,其中s1,s2∈S,t1,t2∈T。因为⊗是由⊙和*定义,易知积半群是个半群。
半群
第10页

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  • 时间2025-02-10