第三讲三次样条函数市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

该【第三讲三次样条函数市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件 】是由【rongfunian】上传分享，文档一共【19】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【第三讲三次样条函数市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。计算方法
第3讲 样条函数
第1页
本讲主要问题
一、样条函数
二、三次样条插值
三、三次样条函数结构
第2页
分段插值存在着一个缺点, 就是会造成插
值函数在子区间端点(衔接处)不光滑, 即导
数不连续, 对于一些实际问题, 不但要求一阶导数
连续, 而且要求二阶导数连续. 为了满足这些要求, 人们
引入了样条插值概念.
所谓 “样条” (spline)是工程绘图中一个工具, 它是有弹
性细长木条. 绘图时, 用细木条连接相近几个结点, 然后
再进行拼接,连接全部结点, 使之成为一条光滑曲线, 且在结
点处含有连续曲率.
样条函数就是对这么曲线进行数学模拟得到. 它除
了要求给出各个结点处函数值外, 只需提供两个边界点处
导数信息, 便可满足对光滑性不一样要求.
第3页
定义 设f(x)是区间[a, b]上一个连
续可微函数, 在区间[a, b]上给定一组节点:
a=x0<x1<x2<<xn=b
设函数S(x)满足条件:
一、样条函数
(1) S(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0, 1, 2, , n–1)
上是次数不超出m多项式;
(2) S(x)在区间[a, b]上有m–1阶连续导数.
则称S(x)是定义在[a, b]上m次样条函数, x0, x1, x2,
, xn称为样条节点, 其中x1,  , xn–1称为内结点, x0,
xn 称为边界节点。
当m=3时, 便成为最惯用三次样条函数.
第4页
样条插值思想: 逐段选取适当
低次多项式, 按一定光滑性要求连接起来
组成插值函数.
二、三次样条插值
定义 设给定区间[a, b]上n+1个点 a=x0<x1<x2<  <xn=b, 以及对应函数值 yi=f(xi), i=0, 1, …, n. 假如函数S(x)满足:
(1)在每个子区间 [xk , xk+1](k=0,1,…,n–1)上, S(x)是不超出三次多项式, 且S(xi )=yi, i=0, 1, … , n;
(2) S(x)、 S(x)、 S(x)在[a, b]上连续.
则称S(x)是f(x)在节点x0, x1, x2, …, xn上三次样条插
值函数.
第5页
第6页
第7页
例1 给定区间[0, 3]上 3 个点函数
值 f(0)=0, f(1)=2, f(3)=4, 试求数 a, b, c,
d, 使函数 S(x)为给定点上三次样条插值
函数. 其中
答案:
第8页
给定n+1个样点(xi, yi )(i=0, 1, …, n),
确定一个三次样条插值函数需要4n个独
立条件. 在定义中, 已指定了4n–2个条件, 即
所以, 普通需补充指定2个边界条件.
第9页
三、三次样条函数结构 ——三弯矩插值法
记 Mi = S(xi), f(xi)= fi= yi , 考虑它在任
一区间[xi, xi+1]上形式. 依据三次样条定义可知, S(x)二阶导数 S(x)在每一个子区间[xi, xi+1]( i=0, 1, 2, , n–1)上都是线性函数.
于是在[xi, xi+1]上 S(x)=Si(x)二阶导数表示成
其中 hi= xi+1–xi .
第10页