第四节--对面积的曲面积分114省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptx

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教学内容
1 对面积曲面积分概念与性质
2 对面积曲面积分计算法
考研要求
1 了解对面积曲面积分概念性质
2 掌握计算对面积曲面积分方法
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一、对面积曲面积分概念与性质
引例: 设曲面形构件含有连续面密度
类似求平面薄板质量思想, 采取
可得
求质
“分割,近似,求和, 求极限” 方法
量 M.
其中,  表示 n 小块曲面直径
最大值 (曲面直径为其上任意两点间距离最大者).
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定义:
设  为光滑曲面,
“乘积和式极限”
都存在,
曲面积分
其中 f (x, y, z) 叫做被积
据此定义, 曲面形构件质量为
f (x, y, z) 是定义在  上一
个有界函数,
记作
或第一类曲面积分.
若对  做任意分割和局部区域任意取点,
则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面  上对面积
函数,  叫做积分曲面.
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补充定义：
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.
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则对面积曲面积分存在.
• 对积分域可加性.
则有
• 线性性质.
在光滑曲面  上连续,
对面积曲面积分与对弧长曲线积分性质类似.
• 积分存在性.
若  是分片光滑,
比如分成两
片光滑曲面
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定理: 设有光滑曲面
f (x, y, z) 在  上连续,
存在, 且有
二、对面积曲面积分计算法
则曲面积分
为曲面面积元素
一往xoy面投影
一投二代三换元，
对面积曲面几分化为二重积分
二代
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则
则
往zox平面投影
往yoz平面投影
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详细步骤：
依据曲面形状确定最简投影方法，将曲面表示为显函数，同时确定对应坐标面上投影区域；
依据曲面方程求得对应面积元素dS；
将曲面方程表示式和面积元素dS代入被积表示式而得到对应投影区域上二重积分；
4 计算转化后二重积分。
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奇偶性应用：
若Σ关于yoz平面对称,则被积函数f(x,y,z)
关于x为奇函数时，曲面积分为0；
若关于x为偶函数，则为2倍二分之一投影区域上积分.
若Σ关于zox平面对称,则被积函数f(x,y,z)
关于y为奇函数时，曲面积分为0；
若关于y为偶函数，则为2倍二分之一投影区域上积分.
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若Σ关于xoy平面对称,则被积函数f(x,y,z)
关于z为奇函数时，曲面积分为0；
若关于z为偶函数，则为2倍二分之一投影区域上积分.
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