线面积分习题课(新版)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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1. 曲线积分计算法
2. 曲面积分计算法
线面积分计算
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一、曲线积分计算法
1. 基本方法
曲线积分
第一类 ( 对弧长 )
第二类 ( 对坐标 )
(1) 统一积分变量
转化
定积分
用参数方程
用直角坐标方程
用极坐标方程
(2) 确定积分上下限
第一类: 下小上大
第二类: 下始上终
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(1)计算
其中L为圆周
提醒: 利用极坐标 ,
原式 =
说明: 若用参数方程计算,
则
第3页
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2 一段弧.
提醒:
(2)
第4页
其中由平面 y= z截球面
提醒: 因在 上有
故
原式 =
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
(3)
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(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;
(2) 利用积分与路径无关等价条件;
(3) 利用格林公式 (注意加辅助线技巧) ;
(4) 利用斯托克斯公式 ;
(5) 利用两类曲线积分联络公式 .
2. 基本技巧
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例1 已知 L长度为a，求
解： 即3x2+4y2=12，所以
又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以
于是 I = 12a。
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又如
逆时针方向，则
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例2. 计算
其中 为曲线
解: 利用轮换对称性 , 有
利用重心公式知
(重心在原点)
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例3. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心,
解法1 令
则
这说明积分与路径无关, 故
a 为半径上半圆周.
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