定积分及其应用.ppt

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在上一章我们研究了求导问题的逆问题，即不定积分问题．本章我们将研究微小量的无限累加问题，即定积分问题．
微积分基本定理是本章的重要内容，该定理建立了定积分与原函数之间的关系，使得第五章的知识在第六章当中得到进一步的运用．
2022 - 2023
#2022
§ 定积分
§ 微积分基本定理
§ 定积分的换元积分法与
分部积分法
§ 反常积分
第六章
§ 定积分在几何上的应用
§ 定积分在经济上的应用
小结
01
定积分
定积分的概念
定积分的性质
定积分问题举例
02
第六章 定积分及其应用
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 ,
求其面积 A .
矩形面积
梯形面积
解决步骤
1) 大化小.
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
解决步骤
3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积

近似代替:
求和:
取极限:
分割:
设某商品的价格P是销售量x的函数P=P(x)，设x为连续变量．求当销售量从a变动到b时的收益R为多少？
上述两个问题的共性:
一、定积分问题举例
解决问题的方法步骤相同 :
“大化小,常代变,近似和,取极限”
所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
二、定积分的概念
定积分的定义
在小区间[xi1, xi]上任取一点xi (i1, 2,, n),
作和
max{Dx1, Dx2,,Dxn};
记Dxi=xi-xi1 (i1, 2,, n),
ax0<x1<x2<  <xn1<xnb;
在区间[a, b]内插入分点:
设函数f(x)在区间[a, b]上有界.
如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分, 记为
即
定积分各部分的名称
 ————积分符号,
f(x) ———被积函数,
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
定积分的定义
———积分和.