数值微分与数值积分.ppt

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数值微分与数值积分
第5章
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202X
引言1---数值微积分方法不同于解析方法
微积分是高等数学中的重要内容，在化学工程上有许多非常重要的应用
微积分的数值方法，不同于高等数学中的解析方法，尤其适合求解没有或很难求出微分或积分表达式的实际化工问题的计算，例如：列表函数求微分或积分
引言2---数值微分和数值积分与插值和拟合关系密切
数值微分和数值积分与插值和拟合往往是密不可分的
如在进行数值微分时，常针对离散的数据点，利用插值和拟合可以减少误差；而数值积分的基本思路也来自于插值法。例如如果所积函数的形式比较复杂或以表格形式给出，则可通过构造一个插值多项式来代替原函数，从而使问题简化
数值微分
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化工领域的实际问题中时常需要求列表函数在节点和非节点处的导数值，这是数值微分所要解决的问题。数值微分方法可近似求出某点的导数值
例如在反应动力学的研究中，根据实验数据确定反应的动力学方程 ：
这里实验测得一批离散点，要计算 只能借助数值微分求导解决
表5-1 反应动力学实验数据
0 导入
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建立数值微分公式的三种思路
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常用三种思路建立数值微分公式：
从微分定义出发，通过近似处理，得到数值微分的近似公式
从插值近似公式出发，对插值公式的近似求导可得到数值微分的近似公式
先用最小二乘拟合方法根据已知数据得近似函数，再对此近似函数求微分可得到数值微分的近似公式。然后对各方法数值微分后得到的多项式求值，即可求出任意点处的任意阶微分
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1 方法概述
在微积分中，一阶微分的计算可以在二相邻点x+h和x间函数取下列极限求得：
取其达到极限前的形式，就得到以下微分的差分近似式：
注：高阶微分项可以利用低阶微分项来计算，如二阶微分式可以表示为：
对应的差分式有：
§ 差分近似微分
上式中三种不同表示形式依次是一阶前向差分、一阶后向差分和一阶中心差分来近似表示微分。其中一阶中心差分的精度较高。
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2 差分的Matlab实现
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在Matlab中，可用diff函数进行离散数据的近似求导
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调用形式：Y = diff(X,n)
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其中：X表示求导变量，可以是向量或矩阵。如是矩阵形式则按各列作差分；
n表示n阶差分，即差分n次
Y是X的差分结果
03
注：用diff函数进行离散数据的近似求导与前向差分近似， 但误差较大。最好将数据利用插值或拟合得到多项式，然后对近似多项式进行微分
04
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：丁二烯的气相二聚反应如下：
实验在一定容器的反应器中进行，3260C时，测得物系中丁二烯的分压
(mmHg)与时间的关系如表5-2所示。
。
表 5-2 丁二烯二聚反应实验数据
用数值微分法计算所列时刻每一瞬间的反应速率
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解：程序如下：
t=[0:5:90];
pA=[ ];
dt=diff(t); ％ 求时间t的差分
dpA=diff(pA); ％ 求压力的差分
q=dpA./dt ％ q为数值微分结果
执行结果：
q =
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§ 三次样条插值函数求微分
若三次样条插值函数
收敛于
，那么导数
收敛于
，因此用样条插值函数
作为
函数，不但彼此的函数值非常接近，而且导数值也很接近。
用三次样条插值函数求数值导数是可靠的，这是化工计算中求数值微分的有效方法。
的近似