差分方程模型市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

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第四讲 养老保险
第一讲 差分方程
第二讲 蛛网模型
第三讲 商品销售量预测
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1、差分方程介绍
要求 只取非负整数，记 为变量在 点取值，则称 为 一阶向前差分，称
为 二阶差分。
由 、 及 差分给出方程称为 差分方程。其中含 最高阶差分阶数称为该差分方程阶数。差分方程也能够写成不显含差分形式，比如二阶差分方程 能够写成
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满足一阶差分方程序列 称为差分方程解，若解中含有独立常数个数等于差分方程阶数时，称此解为该差分方程通解。
称以下形式差分方程


为 阶常系数线性差分方程，其中 是常数， 。其对应齐次方程为
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求非齐次常系数线性差分方程通解步鄹：

，求解齐次方程通解
若特征方程有 个不一样实根 ，则齐次方程
通解为 ；
若 是特征方程 重实根，则齐次方程通解
为 ；
若特 征方程有单重复根 ，则齐次方程通
解为 ，其中 为 模，
为 幅角；
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若特征方程有 重复根 ，则齐次方程通解为  ，若 为齐次方程通解，则非齐次方程通解为 。 对特殊形式特解 能够使用待定系数法求非齐次方程特解。比如 ， 为 次多项式时能够证实：若 不是特征根，则非齐次方程有形如 特解，  也是 次多项式；若 是 重特征根，则非齐次方程有形如 特解。进而能够用待定系数法求出 ，从而得到非齐次方程一个特解。
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例1. 求解两阶差分方程
解 对应齐次方程特征方程为 ，其特征根为 ，故齐次方程通解为
，原方程有形如 特解，带入原方程求得
，所以原方程通解为
在应用差分方程研究问题时，需要讨论解稳定性。对常系数非齐次线性差分方程，若不论其对应齐次方程通解中任意常数怎样取值，当 时， ，则称方程解是稳定。
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2、常系数线性差分方程 变换解法
采取上述解析解法求解常系数线性非齐次差分方程比较
繁琐，下面介绍 变换，将差分方程转化为代数方程去求解
设有离散序列 ，则 变换定义为
其中 是复变量，上式右端级数收敛域是某个圆外部
反变换记作
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几个惯用离散函数 变换
(3) 单边指数函数 变换( 为不等于1正常数)
(1) 单位冲激函数 变换
(2) 单位阶跃函数 变换
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(1)线性性质
设 ，则
变换性质
(2)平移性质：设 ，则
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例2. 求解齐次差分方程
解 令 ，对差分方程取 变换得
对上式取 反变换，便得差分方程解为
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