时间复杂度-经典解说.ppt

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算法时间复杂度的数学意义
A
义，给定算法A，如果存在函数f(n)，当n=k时，f(k)表示算法A在输入规模为k的情况下的运行时间，则称f(n)为算法A的时间复杂度。
B
其中：输入规模是指算法A所接受输入的自然独立体的大小，我们总是假设算法的输入规模是用大于零的整数表示的，即n=1,2,3,……,k,……
C
对于同一个算法，每次执行的时间不仅取决于输入规模，还取决于输入的特性和具体的硬件环境在某次执行时的状态。所以想要得到一个统一精确的F(n)是不可能的。为此，通常做法：环境因素，假设每次执行时硬件条件和环境条件是完全一致的。性的差异，我们将从数学上进行精确分析并带入函数解析式。
x=1;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)k<=j;k++)
x++运行次数：
例子：
算法的渐近时间复杂度
我们不需要进行如此精确的分析，究其原因：算法中，进行精确分析是非常复杂的。多数时候我们并不关心F(n)的精确度量，而只是关心其量级。
考察一个算法的复杂度，一般考察的是当问题复杂度n的增加时，运算所需时间、空间代价f(n)的上下界。
01
进一步而言，又分为最好情况、平均情况、最坏情况三种情况。通常最坏情况往往是我们最关注的。
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算法复杂度的考察方法
（1）上界函数
定义1 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的n≥n0，有
|T(n)| ≤ c|f(n)|
则记作T(n) = Ο(f(n))
含义：
如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所用的时间总是小于|f(n)|的一个常数倍。所以f(n)是计算时间T(n)的一个上界函数。
试图求出最小的f(n)，使得T(n) = Ο(f(n))。
在分析算法的时间复杂度时，我们更关心最坏情况而不是最好情况，理由如下：
最坏情况给出了算法执行时间的上界，我们可以确信，无论给什么输入，算法的执行时间都不会超过这个上界，这样为比较和分析提供了便利。
虽然最坏情况是一种悲观估计，但是对于很多问题，平均情况和最坏情况的时间复杂度差不多，比如插入排序这个例子，平均情况和最坏情况的时间复杂度都是输入长度n的二次函数。
（2）下界函数
如果存在两个正常数c和n0，对于所有的n≥n0，
有
|T(n)| ≥ c|g(n)|
则记作T(n) = Ω(g(n))
含义：
如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所用的时间总是不小于|g(n)|的一个常数倍。所以g(n)是计算时间T(n)的一个下界函数。
试图求出“最大”的g(n)，使得T(n) = Ω(g(n))。