该【格林公式曲线积分 】是由【1354793****】上传分享，文档一共【37】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【格林公式曲线积分 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。二、曲线积分与路线的无关性
返回
202X
§3 格林公式·曲线积分
与路线的无关性
一、格林公式
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.
一、格林公式
设区域 D 的边界 L 是由
一条或几条光滑曲线所
规定为:当人沿边界行走
时,区域 D 总在它的左边,
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称
为负方向,记为
若函数
在闭区域 D 上
有连续的一阶偏导数, 则有
(1)
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.
公式(1)称为格林公式.
证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形
(i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13), 则可表为
作出证明:
又可表为
这里
和
分
分别是曲线
和
的方程. 于是
别为曲线
和
的方
程, 而
和
则
图 21-13
同理又可证得
将上述两个结果相加即得
(ii) 若区域 D 是由一条
按段光滑的闭曲线围成,
且可用几段光滑曲线将
D 分成有限个既是 x 型
又是 y 型的子区域 (如图21-14), 则可逐块按 (i) 得到
它们的格林公式, 然后相加即可.
如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x
型又是 y 型的区域
于是
(iii) 若区域 D 由几条闭曲线
所围成, 如图21-15 所示. 这
把区域化为 (ii) 的情形来处
时可适当添加线段
理. 在图21-15中添加了
后, D 的边界则由
及 构成. 由(ii)知
注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是
型又是
型区域的并集, 例如由
所围成的区域便是如此.
注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.
请看以下二例:
格林公式曲线积分 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
