傅里叶变换微积分性质的区别、联系及应用.docx

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陈 军，汪 璞，安成锦，曾瑶源
（国防科技大学 电子科学学院，湖南 长沙 410073）
0 引言
傅里叶变换是“信号与系统”课程中非常重要的一种数学工具，它建立了时域与频域之间的一一对应关系。若信号的傅里叶变换存在，则
理论上，利用式（1）（2）中的积分可以实现傅里叶变换和反变换的计算。但许多情况下，利用定义式计算不仅烦琐，而且有时候积不出来。我们更倾向于记住常用信号的傅里叶变换，再利用傅里叶变换性质来求解。但是利用性质计
算傅里叶变换过程中，往往容易用错性质，尤其是时域微积分性质。下面将从这两条性质的定义出发，说明二者的区别和联系。
1 微分、积分性质的内容
微分性质
积分性质
2 微分、积分性质的区别和联系
3 时域微分性质时需要注意的问题
图1 的各阶微分结果
图2 信号的波形
确。总的来说，若信号微分结果的面积为0，可以直接将微分结果的频谱除以，即可得信号本身的频谱；若微分结果的面积不为0，一定要用积分性质，也就是除以后，还要再加上一项。
4 微积分性质的应用举例
对例2、例3的求解也为计算分段线性信号的频谱提供了思路：依次对信号进行求导，直到微分结果出现冲激；计算最后一个微分结果的傅里叶变换；最后利用微积分性质得到分段线性信号的频谱。能否用微分性质取决于微分信号的面积是否为0。
5 微分性质在系统分析中的应用
微分性质还可以用于连续时间系统的分析与求解。在时域求解微分方程，尤其是高阶微分方程的零状态响应是非常复杂的。借助傅里叶变换的微分性质，就可以将方程从时域复杂的微分方程变到频域相对简单的代数方程，将大大简化系统的分析和计算。
图3 的各阶微分
6 结论
本文首先说明了傅里叶变换时域微积分性质的区别和联系；然后通过例题说明了在使用微分性质时容易出现的问题，在利用的傅里叶变换求解频谱的时候，只有当的面积为0时，才能直接用微分性质，否则要用积分性质；最后通过典型例题给出了求解分段线性信号频谱的通用方法。
 
-全文完-