(理科数学解答题)2021年泉州市普通高中毕业班质量检查(3月)试题及答案解析.docx

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（在此卷上答题无效）
保密★启用前
泉州市 2019 届普通高中毕业班第一次质量检查
理 科 数 学
本试卷共 23 题，满分 150 分，共 5 页．考试用时 120 分钟．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考Th都必须作答．第 22、23 题为选考题，考Th根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
已知数列{an }的前n 项和 Sn 满足 Sn = 2a1 - an ，且 a1 ， S2 ， 2 成等差数列．
（1）求{an }的通项公式；
（2）若bn = 2 - log2 an ，数列{bn }的前n 项和为Tn ，比较 Sn 与Tn 的大小．
【命题意图】本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的定义、等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解、逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等， 体现基础性和综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．
【试题简析】（1）法一：因为 Sn = 2a1 - an
所以 Sn+1 = 2a1 - an+1

①
② ································ ································ ·· 1 分
a 1
由②-①，可得a

= -a + a 即 n+1 = ， ································ ·············· 2 分
n+1

n+1 n

an 2
所以{a }是公比为 1 的等比数列， ································ · 2 分（这步跳过不扣分）
n 2
又 a1 ， S2 ， 2 成等差数列，所以2S2 = a1 + 2 ，······························ （概念分）3 分
即2æ a + 1 a ö = a + 2 ，解得a = 1， ································ ························ 4 分
ç 1 2 1 ÷ 1 1
è ø
故数列{a }的通项公式a =
1
． ································ ··························· 6 分
n n 2n-1
法二： a1 ， S2 ， 2 成等差数列，所以2S2 = a1 + 2 ， ································ ······ 1 分
即2æ a + 1 a ö = a + 2 ，解得a = 1， ································ ························ 2 分
ç 1 2 1 ÷ 1 1
è ø
由 Sn = 2a1 - an ，得2Sn = 2 - Sn-1(n ³ 2) ， ································ ················· 3 分
进而求得 S = 2(1- 1 n
································ ································ ········· 5 分
( ) )
n 2 ,
再由 S = 2(1- ( 1 )n ) （或由 S = 2a - a ），求得a = 1 . ···························· 6 分
n 2 n 1 n n 2n-1
法三（参考给分意见）：求得 a1 = 1， ································ ··························· 2 分
再求a = 1 ，
2 2
a = 1 ， ································ ································ ······························· 3 分
3 4
所以数列{a }的通项公式a =

1
． ································ ··· （归纳猜想分）4 分
n n
再进行证明，可再得 2 分.

2n-1
（2）因为bn

= 2 - log2 an

= 2 - log

1
2 2n-1