(第1套数学-答案及评分标准)2021深圳市中考5套红卷(1).docx

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参考答案与评分标准
第一部分 选择题
一、（本大题共 12 题，每小题 3 分，共 36 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
B
B
C
C
D
B
A
B
第二部分 非选择题二、填空题：（本大题共 4 题，每小题 3 分，共 12 分）
题号
13
14
15
16
答案
4a(a - 2)2
1

3
-6
42 2
5
：（1）作GH ^ AC 于 H，得 ΔAGH∽ΔCFD；（2） ÐGFH = 1 ÐDEB = 45 .
2
三、解答题：（本题共 7 小题，其中第 17 题 5 分，第 18 题 6 分，第 19 题 7 分，第 20 题 8
分，第 21 题 8 分，第 22 题 9 分，第 23 题 9 分，共 52 分）
16
2
17. 解： (π- 2020)0 - 2 cos 45° - + 1-
=1- 2 ´
2 - 4 + (
2
-1) -----------------------------1+1+1+1 分（ 累 计 4 分 ）
2
= -4 . --------------------------------1 分（累计 5 分）
è
ø
æ 1 2 ö a2 - 2a
18. 解 ：
ç a - 2 - a2 - 4 ÷ ¸ a2 - 4
æ a + 2 2 ö a2 - 4
è
ø
= ç a2 - 4 - a2 - 4 ÷ × a(a - 2)
--------------------------------1+1+1 分（累计 3 分）
×
a a2 - 4
=


--------------------------------1 分（累计 4 分）
a2 - 4 a(a - 2)
1
= a - 2
. --------------------------------1 分（累计 5 分）
当 a =
2+2 时，上式= 2 . --------------------------------1 分（累计 6 分）
2
19. 解：（1）40； --------------------------------1 分（累计 1 分）
（2） 补全条形统计图如下：
--------------------------------1+1 分（累计 3 分）
（3）14；2；. --------------------------------1+1+1 分(累计 6 分）
（4）C. --------------------------------1 分（累计 7 分）
20. （1）证明：延长 FE 交 CD 的延长线于 H.
在正方形 ABCD 中，AB∥CD，
∴ ÐAFE = ÐH ， ÐA = ÐEDH ， Ð1 = Ð3 .
又∵ E 是 AB 的中点，
∴ AE=ED.
∴ △AEF≌△DEH. --------------------------------1 分（累计 1 分）
1
∴ AF=DH，EF=EH=
2
FH .
∴ AF+GD=HD+GD=HG. --------------------------------1 分（累计 2 分）
∵ Ð1 = Ð2 ， Ð1 = Ð3
∴ Ð2 = Ð3 .
∴ HG=HF=2EF. --------------------------------1 分（累计3 分）
∴ AF+GD=2EF. --------------------------------1 分（累计 4 分）
E
2
1
3
(2) 作 GM⊥AB，垂足为 M，得矩形 AMGD. H
在正方形 ABCD 中， ÐA = 90 ，又 AF=3，AE=4，
A D
∴ EF=5.
由（1）可知，DG=7，
∴ FM=4,又 MG=2AE=8， F
-------------------------2 分（累计 6 分）
MG
∴ tan Ð1 =
FM
= 2 ， ∴ sin Ð1 = M G
2 5
5 B C
2 5
5
∴ sin Ð3 = . --------------------------2 分（累计 8 分）
21. 解：（1） y = ì
3x(0≤x≤20)， y
= x . ---------------4 分
î
1 í +18(x > 20) 2
（2）设 A 种大米购买了t 斤，则 B 种大米购买了(100 - t) 斤，共需费用为 w 元，则
① 当0≤t≤20 时， w = 3t + (100 - t) = + 270 ， 令 w = 273，得， + 270 = 273 ，解得， t = 10 .
因为， t 的值在0≤t≤20 的范围内，所以，符合题意，此时，100 - t = 90 .
---------------6 分
② 当20 < t≤100 时， w = ( +18) + (100 - t) = - + 288 ， 令 w = 273，得， - + 288 = 273 ，解得， t = 25 .
因为， t 的值在20 < t≤100 的范围内，所以，符合题意，此时，100 - t = 75 .
答：其中，A、B 种大米分别购买了 10 斤、90 斤或 25 斤、75 斤. ------------8 分
22. 解：（1）连接 OC，如下图：
∵ BC 垂直平分 OM，
∴ OC=CM， 又⊙O 中，OC=OM ，
∴ ΔOCM 为等边三角形. --------------------------------1 分（累计 1 分）
∵ OM=MA，
∴ CM=OM=MA，
∴ 点 C 在以 OA 为直径的圆上，
∴ ÐOCA = 90 ， --------------------------------1 分（累计 2 分）
∴ AC 是⊙O 的切线. --------------------------------1 分（累计 3 分）
B
O
M
C
P
N A
(2) 连接 OP，如下图：
由已知可得，OB=1，OA=4，OP=2，
OA OP
∴
= = 2 ， --------------------------------1 分（累计 4 分）
OP OB
又∵ ÐAOP 是 ΔAOP 与 ΔPOB 的公共角，
∴ ΔAOP∽ΔPOB， --------------------------------1 分（累计 5 分）
PA
∴
PB
= OA = OP = 2 . . --------------------------------1 分（累计 6 分）
OP OB
B
O
M
C
P
N A
P
D
B
O
M
C
（3）分两种情形.
情形一：如右图：
连接 OD，则 OD=OP，
∴ ÐOPD = ÐODP ， N A
∴ ÐOPB + ÐBPD = ÐDOA + ÐPAO ， 又，由（2）知：ΔAOP∽ΔPOB，
∴ ÐOPB = ÐPAO ，
∴ ÐBPD = ÐDOA .
∵ 此时， ÐAPB = 30 ，
∴ 此时， ÐDOA = 30
又，OD=OM，
. --------------------------------1 分（累计 7 分）
∴ ÐOMD = ÐODM = 75 .
由（1）知， ÐOMC = 60 ，
∴ ÐDMC = 75
情形二：如下图：
+ 60
= 135 . --------------------------------1 分（累计 8 分）
O
B M
D
P
C
N A
与情形一同理，
可求得此时， ÐDMC = 75

- 60

= 15 . --------------------------------1 分（累计 9 分）
故， ÐDMC 的大小为135 或15 .
23. 解：（1）A 点坐标为（4，0）. --------------------------------1 分（累计 1 分）
∵ OH = t ，
∴ P 点坐标为(t，- 1 t2 + 2t) .
2
∴ PH = - 1 t2 + 2t .
2
1 1 1
又， SDOBH = 2 PH ×OH + 2 PH × AH = 2 PH ×OA.
∴ S

DOBH
= 1 (- 1 t2 + 2t) ´ 4 = -t2 + 4t . --------------------------------1 分（累计2 分）
2 2
2
∴ SDOBH = -(t - 2) + 4 .
∴ SDOBH 的最大值为4. --------------------------------1 分（累计3 分）
(2) AB + OC ： 解法一：
由（1）知：
OH = t ， PH = - 1 t2 + 2t ， AH = 4 - t.
2
所以，

tan ÐPOH + tan ÐPAH
= PH + PH OH AH
1 t(4 - t) 1 t(4 - t)
= 2 + 2
--------------------------------1 分（累计4 分）
t
= 1 (4 - t) + 1 t
2 2
= 2.
4 - t
Ð = =
AB AB
又， tan POH ，
OA 4
tan ÐPAH = OC = OC . --------------------------------1 分（累计 5 分）
OA 4
AB OC
∴ +
4 4
= 2 ，
∴ AB + OC = 8 . --------------------------------1 分（累计 6 分）
解法二：
通过对 SDOBH 算两次（或由（1））可得，
4´ 1 t(4 - t)
AB = PH × OA = 2
= 2(4 - t) = 2 AH.
--------------------------------1 分（累计 4 分）
OH t
同理可得，OC=2OH， --------------------------------1 分（累计 5 分）
∴ AB + OC = 2 AH + 2OH = 2OA = 8.
--------------------------------1 分（累计 6 分）
解法三：通过点 O（0，0），P (t，- 1 t2 + 2t) 两点，可得，
2
1
直线 OP 的解析式为： yOP = 2 (4 - t)x ，--------------------------------1 分（累计 4 分）
令 x=4，即得， AB = 2(4 - t)
， --------------------------------1 分（累计 5 分）
同理，通过点 A（4，0），P (t，- 1 t2 + 2t) 两点，可得，
2
y = - 1 tx + 2t
AC 2
，所以，OC=2t，
所以， AB + OC = 2(4 - t) + 2t = 8.
--------------------------------1 分（累计 6 分）
（其它解法，参照给分）
（3）解法一：如下左图，取 BC 的中点 M，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为 D，交直线 l 于点
E，得矩形 OAED；连接 OM.
易得，△CDM≌△BEM.
∴ CD=BE.
∴ OC + AB = (OD + CD) + ( AE - BE) = OD + AE = 2OD .
由（2）知， AB + OC = 8.
1 1
∴ OD=4. 又 DM =
DE =
2 2
OA = 2 ，
∴ M 点 的 坐 标 为 （2，4）. --------------------------------1 分 （ 累 计 7 分 ）
即，直线 BC 绕定点 M 在旋转.
如上右图， B1C1 表示 BC 的任一位置， OG 长是点O ，
∵ OG ≤ OM ，
∴ OG 的最大值等于OM .
显然， OG 获得最大值的条件是OM ^ BC .
∵ 此 时 ， OM ^ BC .
∴ 易得， 此时，ΔCDM∽ΔMDO， 从而，得 CD=1.
∴ 此时，C 点坐标为（0，5）. --------------------------------1 分（累计 8 分）
5
∴ 直线 AC 的解析式为： y = -
4
x + 5 .
ì y = - 5 x + 5， ì x = 5 ，
ï 4 ìx1 = 4
ï 2 2
由 í1
 得， í y
（舍）
= 0 15
í
ï y = -
x2 + 2x î 1

ï y = .

ïî 2 ïî 1 8
æ 5 15 ö
故，此时 P 点坐标为ç ， ÷ . --------------------------------1 分（累计 9 分）
è 2 8 ø
解法二：上同（3）中解法一， --------------------------------1 分（累计 7 分）可得，此时，
C 点坐标为（0，5）， --------------------------------1 分（累计 8 分） 从而 OC=5，
由（2）中解法二知，OC=2OH，
OC 5 5
∴ OH = = ，即 P 点的横坐标为 ，
2 2 2
将之代入抛物线解析式，
æ 5 15 ö
可得 P 点坐标为ç ， ÷ . --------------------------------1 分（累计 9 分）
è 2 8 ø
解法三：由（2）中解法二知： OC = 2t ， AB = 2(4 - t) ，
∴ B(4，- 2t + 8) ， C(0，2t)
由三角形中位线定理，容易得到，
M 点的坐标为（2，4）. --------------------------------1 分（累计 7 分）由解法一知，当距离OG 获得最大值时， OM 垂直平分 BC ，
∴ 此时， OB = OC = 2t ，
在 RtΔ OAB 中，由OA2 + AB2 = OB2
得 ， 解得，
42 +（8 - 2t)2 = (2t)2 .
t = 5 . --------------------------------1 分（累计 7 分）
2
以下同解法二.
（其它解法，参照给分）