2021二轮复习完美题型汇编导数第2讲导数研究函数单调性学生.docx

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[基础回顾]

函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若 f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若 f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．
[常用结论]
1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
[完美题型展现]
题型一 判断函数单调性
【玩转角度 1】 求不含参函数单调性
例 1（1）函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的递增区间是( ) A．(－∞，e) B．(1，e)
C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)
（2）已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调递减区间是 ．
（3）(2020·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间是 ．
【玩转角度 2】 讨论含参函数单调性
例 2 已知 f(x)＝a(x－ln x)

2x－1，a∈ f(x)的单调性．
＋
x2
[题型特训]
x
y＝1 2－ln x 的单调递减区间为( )
2
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
2. (2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数 f(x) 1
x＋aln x，讨论 f(x)的单调性．
＝ －
x
g(x)＝ln x＋ax2＋bx，其中 g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于 x 轴．
(1)确定 a 与 b 的关系；
(2)若 a≥0，试讨论函数 g(x)的单调性．
题型二 已知函数单调性求参
x
例 3 设函数 f(x)＝1x3－a 2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
3 2
(1)求 b，c 的值；
(2)若 a＞0，求函数 f(x)的单调区间；
(3)设函数 g(x)＝f(x)＋2x，且 g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围．
[母题变式]
1．在本例第(3)问中，若改为 g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何解？
2．在本例第(3)问中，若 g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，求 a 的值？
3．在本例第(3)问中，若 g(x)在(－2，－1)上不单调，求 a 的取值范围？
[题型特训]
1.(2019·渭南质检)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2 的图象经过点 M(1,4)，曲线在点 M 处的切线恰好与直线x＋9y＝0 垂直．若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m 的取值范围是 ．
2．若函数 h(x)＝ln x－1ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则 a 的取值范围为 ．
2
[变式发散]
1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h(x)在[1,4]上单调递增”，则 a 的取值范围为 ．
2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h(x)在[1,4]上存在单调递减区间”，则 a 的取值范围为
．
3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h(x)在[1,4]上不单调”，则 a 的取值范围为 ．
题型三 构造函数用单调性比较大小和解不等式
例 4 (2019·莆田模拟)设函数 f′(x)是定义在(0,2π)上的函数 f(x)的导函数，f(x)＝f(2π－x)，当
π
3
3
7π
1
0＜x＜π时，若 f(x)sin x－f′(x)cos x＜0，a＝ f
2

，b＝0，c＝－ f
2

6 ，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
例 5 设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0 时 xf′(x)－f(x)<0，则使得
f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
[题型特训]
1．(2020·江西宜春质检)已知 f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的函数，其导函数为 f′(x)，且不等式 xf′(x)<2f(x)恒成立，则( )
A．4f(1)<f(2) B．4f(1)>f(2)
C．f(1)<4f(2) D．f(1)<2f′(2)
2.(2020·宁波模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式 exf(x)>ex＋
3(其中 e 为自然数对数的底数)的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)
f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(2)＝0，当 x>0 时，有xf′(x)－f(x)<0 恒成立，则不等式
x2
x2f(x)>0 的解集是 ．
题型四 导函数图像和原函数关系
例 6 (2020·济南调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
[题型特训]
1．函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
2．已知函数 f(x)＝x2＋2cos x，若 f′(x)是 f(x)的导函数，则函数 f′(x)的大致图象是( )
[特训作业]
1．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
玩转数学 2020 二轮复习完美题型汇编 安老师培优课堂
y＝xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
3．已知函数 f(x)＝xsin x，x∈R，则 f
π
5
－π
，f(1)，f
π
5
π
5
－π

－π
3 的大小关系为( )
A．f

3 >f(1)>f
π
5
－π

B．f(1)>f
－π

3 >f
C．f

>f(1)>f