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盐城市、南京市 2021 届高三年级第一次模拟考试数学
注意事项:
1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 150 分,考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、 8 小题,每小题 5 分,共 40 ,只有一项是符合题目要求的.
1 + ai
1.若
2 - i
为实数,其中i为虚数单位,则实数a 的值
6
6
A.2 B. - 1 C. 1
2 2
D. -2
6
2.已知函数 y = lg(-x2 - x + 2) 的定义域为集合M ,函数 y = sin x 的值域为 N ,则M I N =
6
A. Æ B. (-2,1]
C.[-1,1)
D.[-1,1]
6
5
=
2x3
ln x
3.函数 f (x) 的图象大致为
4.一次竞赛考试,老师让学生甲、乙、丙、:丁第一;学生乙说: 我不是第一;学生丙说:甲第一;学生丁说:,则该学生是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
æ
p
-aö - s
in2 æ
p
+aö
ç
è
6
÷
ø
ç
è
3
÷
ø
5.化简sin2 可得
6
A. cos æ 2a+ pö B. -sin æ 2a+ pö
ç 3 ÷ ç 6 ÷
8
è ø
C. cos æ 2a- pö
è ø
D. sin æ 2a- pö
6
ç 3 ÷ ç 6 ÷
è ø è ø
6.某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查,随机抽取了 200 人进行调查
统计得下方的2 ´
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行用语
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
A.有95% 的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B.没有95% 的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C.%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D.%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
6
P(c2 ³ x )
0
x0
参考公式:独立性检验统计量c2 下面的临界值表供参考:
= n(ad - bc)2
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
,其中n = a + b + c + d .
6
6
x2 - y2
= > >
6
7.设 F1, F2 分别为双曲线 a2
b2 1(a
0,b
0) 的左、右焦点,圆 F1与双曲线的渐近线相
6
切,过 F2 与圆 F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的两条渐近线所成的锐角
a的正切值为
6
3
A. 8 B.
15
C. 4 D.1
3
6
8.已知点 A, B,C, D 在球O 的表面上,AB ^平面 BCD,BC ^ CD .若 AB = 2, BC = 4,AC
6
与平面 ABD 所成角的正弦值为 10 ,则球O 表面上的动点 P 到平面 ACD 距离的最大值为
5
A.2 B.3 C.4 D.5
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 ,有多项符合
5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
9.下列关于向量a,b,c 的运算,一定成立的有
A. (a + b) × c = a × c + b × c B. (a × b) × c = a × (b × c)
C. a × b £ a × b D. a - b £ a + b
10.下列选项中,关于 x 的不等式ax2 + (a -1)x - 2 > 0有实数解的充分不必要条件有
18
A. a = 0
C. a > 0
B. a ³ -3 + 2
2
2
D. a £ -3 - 2
6
2
11.已知函数 f (x) = log (1 + 4x ) - x ,则下列说法正确的是
A.函数 f (x) 是偶函数
B.函数 f (x) 是奇函数
C.函数 f (x) 在(-¥,0]上为增函数
i
D. 函 数 f (x) 的 值 域 为 [1, +¥) 12.回文数是一类特殊的正整数,这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同,如 1221、15351 与 n 满足2 £ i £ n ,且n ³ 4,在éë10i-1,10i -1ùû 上 任取一个正整数取得回文数的概率记为 P ,在éë10,10n -1ùû 上任取一个正整数取得回文数的概
率记为Qn ,则
1 n
6
A. Pi < Pi+1 (2 £ i £ n -1)
B. Qn < å Pi
n -1
i=1
6
1 n n
6
n -1
C. Qn > å Pi
i=2
D. å Pi < 1
i=2
6
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
6
13.若函数 f (x) = sin(2x +j)为偶函数,则j的一个值为 .(写出一个即可)
14. (1 + 3 2p)200 的展开式中有理项的个数为 .
15.在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 y2 = 2 p x与 x2 = 2 p y 在第一象限的交点为 A,若
25
OA 的斜率为 2,则 p2
p1
1 2
= .
6
2 2
16.罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C : x 3 + y 3 = 1的性质,其
形美观, 围成的图形的面积S 2(选填“ >”、“ <”、 “ =”),曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是 .(第一空 2 分,第二空 3 分)
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 、证明过程或演算步骤.
6
17.(10 分)设正项数列{a }的前n 项和为 S , 2S
= a2 + a .
6
n
(1)求数列{an}的通项公式;
n n n n
6
6
n
(2)求证: å
1 < 1 .
6
i i +1
i=1 a2 + a2 - 1 2
18.(12 分)在DABC 中角 A, B,C 的对边分别为a,b, c, A = B + 3C .
(1)求sin C 的取值范围;
(2)若c = 6b ,求sin C 的值.
19.(12 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABEF 为正方形,平面 ABEF ^ 平面CDFE ,
CD P EF , DF ^ EF , EF = 2CD = 2 .
(1)若 DF = 2 ,求二面角 A - CE - F 的正弦值;
(2)若平面 ACF ^ 平面 BCE ,求 DF 的长.
6
20.(12 分)某市为创建全国文明城市,市文明办举办了一次文明知识网络竞赛,全市市民均有且只有一次参赛机会,满分为 100 分,得分大于等于 80 ,随机抽取了参赛中 100 人的得分为样本,统计得到样本平均数为 71,方差为 10 万人参加了该竞赛活动,得分服从正态分布 N (71,81) .
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21.(12 分)设 F 为椭圆C :
点.
x2 + 2
y
2
= 1的右焦点,过点(2,0) 的直线l 与椭圆C 交于 A、B 两
6
(1)若点 B 为椭圆C 的上顶点,求直线 AF 的方程;
(2)设直线 AF 、 BF 的斜率分别为k 、k (k ¹ 0) ,求证: k1 为定值.
k
1 2 2
2
6
22.(12 分)设函数 f (x) = ax + e- x (a > 1) .
(1)求证: f (x) 有极值;
(2)若 x = x0 时 f (x) 取极值,且对任意正整数a 都有 x0 Î (m, n),其中m, n Î Z,求n - m
的最小值.
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