2021届一轮复习之导数及其应用(30页).docx

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一、选择题
1．(2019 日照一中检测)已知函数 y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程 x－2y＋1＝0，则 f(1)＋2f ′(1)的值是( )

2
C 3
B．1
D．2
．
2
【答案】D
【解析】∵函数 y＝f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是 x－2y
＝
.∴f(1)
2f
＋1＝0，∴f(1)＝1, f ′(1) 1 ＋ ′(1)＝ D.
2
2．(2019 ft东烟台模拟)曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
【答案】C
【解析】y′＝cos x＋ex，故切线斜率为 k＝2，切线方程为 y＝2x
＋1，即 2x－y＋1＝0.
3．(2019 ft东枣庄三中质检)已知函数 f(x)的导函数为 f ′(x)，且满足 f(x)＝2xf ′(1)＋ln x，则 f ′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
【答案】B
【解析】由题可得 f′(x)＝2f′(1)＋1，则 f′(1)＝2f′(1)＋1，
x
解得 f′(1)＝－1，所以选 B.
4．(2019 河南濮阳一中期末)已知 f ′(x)是 f(x)＝sin x＋acos x 的
π 2
导函数，且 f ′ 4 ＝ 4 ，则实数 a 的值为( )

3
C 3
B．1
2
D．1
．
4
【答案】B

π 2
【解析】由题意可得 f′(x)＝cos x－asin x，则由 f′ 4 ＝ 4 可得
2
2 2 1
－ a＝ ，解得 a＝
2 2 4
.故选 B.
2
5．(2019 河南质检)已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f ′(x)＝1f(x)，
2
则 tan 2x 的值是( )
A 2 B 4
．－
3
C．4
3
【答案】D
．－
3
D．3
4
s
【解析】因为 f ′(x)＝cos x＋sin x＝1 in x
2
1
－
cos x
2
，所以 tan x＝
2tan x
－3，所以 tan 2x＝
 －6 3
＝ ＝ .故选 D.
1－tan2x 1－9 4
6．(2019 安徽宣城六校联考)过函数 f(x)＝1x3－x2 图像上一个动
3
点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )
0，3π
A. 4 B．
3π，π
0，π
2 ∪
π，3π
3π，π 4
C. 4 D． 2 4
【答案】B
【解析】 k＝f′(x)＝x2－2x＝(x－
1)2－1≥－1，即 k＝tan α≥－1，解得 0≤α<π或3π≤α<π，即切线倾
2 4
斜角的范围为
0，π
2 ∪
3π，π 4

.故选 B.
7．(2019 四川乐ft调研)已知曲线 f(x)＝e2x－2ex＋ax－1 存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a 的取值范围是( )
3，7
A．(3，＋∞) B． 2
－∞，7
C. 2 D．(0,3)
【答案】B
【解析】由题得 f′(x)＝2e2x－2ex＋a，则方程 2e2x－2ex＋a＝3
有两个不同的正解，令 t＝ex(t>0)，且 g(t)＝2t2－2t＋a－3，则由图像
可知，有 g(0)>0 且Δ>0，即 a－3>0 且 4－8(a－3)>0，解得 7 故
选 B.
3<a< .
2
8．(2019 河北邯郸质检)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为 M(x0，y0)，记函数 f(x)的导函数为 f ′(x)，f ′(x)的导函
1 2
数为f ″(x)，则有f ″(x0)＝(x)＝x3－3x2，则f 2 017 ＋f 2 017
3 4 032 4 033
＋f 2 017 ＋…＋f 2 017 ＋f 2 017 ＝( )
A．－8 066 B．－4 033
C．8 066 D．4 033
【答案】A
【解析】由 f(x)＝x3－3x2 得 f ′(x)＝3x2－6x，f ″(x)＝6x－6，又
f ″(x0)＝0，所以 x0＝1 且 f(1)＝－2，即函数 f(x)的对称中心为(1，－
2)，即 f(x)＋f(2－x)＝－ S＝f
 1
2 017 ＋f
 2
2 017 ＋f
 3
2 017 ＋…＋
4 032
4 033
4 033
4 032
 3 2
f 2 017 ＋f 2 017 ， 则 S＝f 2 017 ＋f 2 017 ＋…＋f 2 017 ＋f 2 017 ＋
1
f 2 017 ，所以 2S＝4 033×(－4)＝－16 132，S＝－8 066.
π
9．(2019 云南大理统测)已知函数 f(x)＝ln x＋tan α α∈ 2 的导函
数为 f ′(x)，若使得 f ′(x0)＝f(x0)成立的 x0 满足 x0<1，则α的取值范围为( )
0，π
π，π
A. 4 B． 4 2
π，π
0，π
C. 6 4 D． 3
【答案】B
＝
【解析】∵f ′(x) 1，∴f ′(x0)＝ 1 ，由 f

′(x0)＝f(x0)，得1 ＝
x x0
＝
－
，∴
ln x0＋tan α，∴tan α 1 ln 0<x0<1
x0
－
ln x0>1，即 tan α>1，
0，π
x0 x0
π，π
又α∈
2 ，∴α∈ 4
.故选 B.
二、填空题
10．(2019 九江模拟)已知直线 y＝－x＋1 是函数 f(x)＝－1·ex 图
a
象的切线，则实数 a＝ .
【答案】e2
1
【解析】设切点为(x0，y0)，则 f ′(x0)＝－ ·ex0＝－1，∴ex0＝a，
a
又－1·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.
a
1 π
11．(2019 河南省实验中学期中)已知 f(x)＝xcos x，则 f(π)＋f ′ 2
＝ .
【答案】－3
π
x
－sin x·x－cos x π π 2
【解析】f′(x)＝
，当 ＝
2
时，f ′ 2 ＝－ ，又
x 2 π
1 π 3
f(π)＝－ ，所以 f(π)＋f′ 2 ＝－ .
π π
12．(2019 长春模拟)已知 a 为常数，若曲线 y＝ax2＋3x－ln x 上存在与直线 x ＋ y － 1 ＝ 0 垂直的切线， 则实数 a 的取值范围是
．
【答案】
1，＋∞
－
2
－
【解析】由题意知曲线的切线斜率为 1，所以 y′＝2ax＋3 1＝
x
有正根，即 2ax2＋2x－1＝0 有正根．当 a≥0 时，显然满足题意；
当
＜
时，需满足
≥
a 0 Δ 0
1 a 0. a 1
，解得－
≤
＜
综上，
≥－
.
2 2
三、解答题
13．(2019 湖北孝感高中期中)已知函数 f(x)＝x3－x.
(1)求曲线 y＝f(x)在点 M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线 y＝f(x)的三条切线，求实数 b 的取值范围．
【解】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.
故切线方程为 y－0＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0.
0
(2)设切点为(x0，x3－x0)，则切线方程为
0
y－(x3－x0)＝f′(x0)(x－x0)．
又切线过点(1，b)，所以(3x2－1)(1－x0)＋x3－x0＝b，
0 0
0
0
即 2x3－3x2＋b＋1＝0.
由题意，上述关于 x0 的方程有三个不同的实数解． 记 g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则 g(x)有三个不同的零点，
而 g′(x)＝6x(x－1)，令 g′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝1，则结合图像可知 g(0)g(1)<0 即可，可得 b∈(－1,0)．
【课时训练】课时 1 导数与函数的单调性
一、选择题
1．(2019 芜湖模拟)函数 f(x)＝ex－ex，x∈R 的单调递增区间是
( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
【答案】D
【解析】由题意知， f ′(x)＝ex－e，令 f ′(x)＞0，解得 x＞1.
故选 D.
2．(2019 江西宜春模拟)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
【答案】B
－
，
【解析】对于 A，易得 f(x)＝sin 2x 的单调递增区间是[kπ π kπ
4
π x
＋ ](k∈Z)；对于 B, f ′(x)＝e (x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时， f ′(x) 4
＞0，所以函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数；对于 C, f ′(x)＝3x2
3
3
－∞，－ 3
－1，令 f ′(x)＞0，得 x＞ 3 或 x＜－ 3 ，所以函数 f(x)在 3
3，＋∞
1 x－1
和 3 上单调递增；对于 D, f ′(x)＝－1＋x＝－
，令 f ′(x)
x
＞0，得 0＜x＜1，所以函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增．综上所述， 选 B.
3．(2019 漳州模拟)已知函数 f(x)在定义域 R 内可导，f(x)＝f(2－
1
x)，且当 x∈(－∞，1)时，(x－1)f ′(x)＜ a＝f(0)，b＝f 2 ，c＝f(3)，
则( )
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【答案】A
【解析】由题意可知，当 x＜1 时， f ′(x)＞0，函数 f(x)为增函
数．又 f(3)＝f(－1)，－1＜0＜1
2
1
＜1，∴f(－1)＜f(0)＜f 2 ， 即 f(3)＜f(0)
1
＜f 2 ，所以 c＜a＜ A.
4．(2019 湛江模拟)若函数 f(x)＝x

b(b∈R)的导函数在区间(1,2)
＋
x
上有零点，则 f(x)在下列区间上单调递增的是( ) A．(－2,0) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
【答案】D
【解析】由题意知， f ′(x)＝1－ b .∵函数 f(x)＝x
x2
b
＋ (b x
∈R)的导
函数在区间(1,2)上有零点， ∴当 1－ b ＝0 时，b＝x2，又 x∈(1,2)，
x2
∴b∈(1,4)．令 f ′(x)＞0，解得 x＜－ b或 x＞ b，即 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ b)，( b，＋∞)，∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．故选 D.
5．(2019 江西鹰潭模拟)已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象如
图所示，则函数 y＝log2(x2＋2 ＋c)的单调递减区间为( )
1，＋∞
2
bx
3
3
B．[3，＋∞)
C．[－2,3] D．(－∞，－2)
【答案】D
【解析】因为 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以 f ′(x)＝3x2＋2bx＋c，
12－4b＋c＝0，
由图可知 f ′( － 2) ＝ f ′(3) ＝ 0 ， 所以
解得
27＋6b＋c＝0，
b＝－3， 2 c
2 令 g(x)＝x2＋ bx＋ ，则 g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1，
c＝－18. 3 3
由 g(x)＝x2－x－6＞0，解得 x＜－2 或 x＞ g′(x)＜0，解得

<
x 1， 2
所以 g(x) ＝ x2 － x － 6 在( － ∞ ， － 2) 上为减函数， 所以函数 y ＝
x2＋2 ＋c
3
log2
bx 3 的单调递减区间为(－∞，－2)．
5 题图
6 题图
1
6．(2019 ft东泰安模拟)已知函数 y＝ 2 f ′(x)的图象如图所示，则
函数 f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)和(2，＋∞)
C．(1,2) D．R
【答案】B
1
【解析】因为函数 y＝ 2 x 是 R 上的减函数，所以 f ′(x)＞0 的
充分必要条件是 0＜
1
f ′(x)＜1, f ′(x)＜0 的充分必要条件是
1
2 f ′(x)
1
＞，当 x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，0＜ 2 f ′(x)＜1，即
f ′(x)＞0.
所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．故选 B.
7．(2019 四川成都一诊)已知 a≥0，函数 f(x)＝(x2－2ax) f(x)
在[－1,1]上单调递减，则 a 的取值范围是( )
0，3
1，3
A. 4 B． 2 4
3，＋∞
C. 4
【答案】C
0，1
D． 2
【解析】f ′(x) ＝ (2x － 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x －
2a]ex，由题意可知，当 x∈[－1,1]时， f ′(x)≤0 恒成立，即 x2＋(2
－ 2a)x － 2a≤0 恒 成 立 ． 令 g(x) ＝ x2 ＋ (2 － 2a)x － 2a ， 则 有
g(－1)≤0， g(1)≤0，
(－1)2＋(2－2a)·(－1)－2a≤0，
即
12＋2－2a－2a≤0，
≥
.
解得 a 3
4
8．(2019 河北五校联考)若曲线 C1：y＝ax2(a>0)与曲线 C2：y＝
ex 存在公共切线，则 a 的取值范围为( )
e2，＋∞
A. 8
e2，＋∞
C. 4
0，e2
B． 8
0，e2
D． 4
【答案】C
【解析】结合函数 y＝ax2(a>0)和 y＝ex 的图象可知，要使曲线
C1：y＝ax2(a>0)与曲线 C2：y＝ex 存在公共切线，只要 ax2＝ex 在(0，
＋∞)上有解，从而 a＝ h(x)＝ex(x>0)，则 h′(x)
ex·x2－ex·2x
＝
＝
x2 x2 x4
(x－2)ex，令 h′(x)＝0，得 x＝2，易知 h(x)
＝h(2) e2
a e2.
x3
二、填空题
9．(2019 湖南邵阳联考)已知函数 f(x)
min
＝x3－
3
＝ ，所以 ≥
4 4
(4m－1)x2＋(15m2－
2m－7)x＋2 在 R 上单调递增，则实数 m 的取值范围是 ．
【答案】[2,4]
【解析】f ′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意可知，
f ′(x)≥0 在 R 上恒成立，所以Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝4(m2
－6m＋8)≤0，解得 2≤m≤4.
10．(2019 杭州四校联考)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(4)＝
－3，且对任意的 x∈R 总有 f ′(x)＜3，则不等式 f(x)＜3x－15 的解集为 ．
【答案】(4，＋∞)
【解析】令 g(x)＝f(x)－3x＋15，则 g′(x)＝f ′(x)－3＜0，所以
g(x)在 R 上是减函数．又 g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以 f(x)＜3x－
15 的解集为(4，＋∞)．
＝－
x
11．(2019 成都模拟)已知函数 f(x) 1 2＋4x－3ln x 在区间[t，
2
t＋1]上不单调，则 t 的取值范围是 ．
【答案】(0,1)∪(2,3)
【解析】由题意知 f ′(x)＝－x＋4 3
(x－1)(x－3)，由 f ′(x)
－ ＝－
x x
＝0 得函数 f(x)的两个极值点为 1 和 3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以 1∈(t，
t＋1)或 3∈(t，t＋1)⇔
t＜1， t＋1＞1
t＜3，
或
t＋1＞3
⇔ 0＜t＜1 或 2＜t＜3.
12．(2019 广东佛ft质检)已知函数 f(x)的导函数为 f ′(x)＝5＋cos
x，x∈(－1,1)，且 f(0)＝0，如果 f(1－x)＋f(1－x2)＜0，则实数 x 的取值范围为 ．