2021年上海市普陀区中考数学一模试卷.docx

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一、选择题（每题 4 分）
1．（4 分）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
2．（4 分）下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） D．y=（x﹣2）2﹣x2
3．（4 分）如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1、l2、l3 与点 A、B、C，直线
DF 分别交 l1、l2、l3 与点 D、E、F，AC 与 DF 相交于点 H，如果 AH=2，BH=1，BC=5， 那的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（4 分）抛物线 y=﹣x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线于 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线 x=0
D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
5．（4 分）如图，在四边形 ABCD 中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是（ ）
A．∠DAC=∠ABC B．AC 是∠BCD 的平分线
C．AC2=BC•CD =
6．（4 分）下列说法中，错误的是（ ）
A．长度为 1 的向量叫做单位向量
B．如果 k≠0，≠，那么 的方向的方向相同
C．如果 k=0 =，那么 =
D．如= = ，其是非零向量，那∥
二、填空题（每题 2 分）
7．（2 分）如果 x：y=4：3，那么= ．
8．（2 分）计算：3﹣4（+）= ．
9．（2 分）如果抛物线 y=（m﹣1）x2 的开口向上，那么 m 的取值范围是 ．
10．（2 分）抛物线 y=4x2﹣3x 与 y 轴的交点坐标是 ．
11．（2 分）若点 A（3，n）在二次函数 y=x2+2x﹣3 的图象上，则 n 的值为 ．
12．（2 分）已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长的线段 AP 的长等于 厘米．
13．（2 分）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5 厘米的一个等边三角形放大成边长为 20 厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
14．（2 分）已知点 P 在半径为 5 的⊙O 外，如果设 OP=x，那么 x 的取值范围是 ．
15．（2 分）如果港口 A 的南偏东 52°方向有一座小岛 B，那么从小岛 B 观察港口
A 的方向是 ．
16．（2 分）在半径为 4 厘米的圆面中，挖去一个半径为 x 厘米的圆面，剩下部分的面积为 y 平方厘米，写出 y 关于 x 的函数解析式： （结果保留π，不要求写出定义域）
17．（2 分）如果等腰三角形的腰与底边的比是 5：6，那么底角的余弦值等于 ．
18．（2 分）如图，DE∥BC，且过△ABC 的重心，分别与 AB、AC 交于点 D、E，点 P 是线段 DE 上一点，CP 的延长线交 AB 于点 Q，如=，那么 S△DPQ：S△
CPE 的 值 是 ．
三、解答题
19．（6 分）计算：cos245°+﹣ •tan30°．
20．（8 分）如图，已知 AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD⊥BC，垂足为点
E，AE=BC=16，求⊙O 的直径．
21．（10 分）如图，已知向量，，．
（1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但 要在图中明确标出向量和）．
（2）如果点 A 是线段 OD 的中点，联结 AE、交线段 OP 于点 Q，=，=， 那么试用 ， 表示向量 ， （请直接写出结论）
22．（10 分）一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面 AB 的坡比 i1=1：
2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面 AD 的坡比
i2（结果保留根号）
23．（12 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，
AC=b，求证：
（1）△DEC∽△ADC；
（2）AE•AB=BC•DE．
24．（12 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，0）是抛物线 y=ax2+2x
﹣c 上的一点，将此抛物线向下平移 6 个单位后经过点 B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为 C，新抛物线的对称轴与线段 AB 的交点记为 P．
（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点 C 的坐标；
（2）求∠CAB 的正切值；
（3）如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ 与△ACP 相似，求点 Q 的坐标．
25．（14 分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=，点 O
是 AB 的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE 以点 O 为旋转中心旋转时，OD 交 AC 的延长线于点 D，交边 CB 于点 M，OE 交线段 BM 于点 N．
（1）当 CM=2 时，求线段 CD 的长；
（2）设 CM=x，BN=y，试求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段 CM 的长．
2017 年上海市普陀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题 4 分）
1．（4 分）（2017•普陀区一模）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同， 故选 A．
【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的
图形，难度不大．
2．（4 分）（2017•普陀区一模）下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） D．y=（x﹣2）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：A、y=2x+1 是一次函数，故 A 错误；
B、y=2x（x+1）是二次函数，故 B 正确；
C、不是二次函数，故 C 错误；
D、y=（x﹣2）2﹣x2 是一次函数，故 D 错误； 故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，形如 y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数．
3．（4 分）（2017•普陀区一模）如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1、l2、l3与点 A、B、C，直线 DF 分别交 l1、l2、l3 与点 D、E、F，AC 与 DF 相交于点 H， 如果 AH=2，BH=1，BC=5，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．
【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3，
∴，
∵AH=2，BH=1，BC=5，
∴AB=AH+BH=3，
∴，
∴，
故选 D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（4 分）（2017•庆云县一模）抛物线 y=﹣x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标
y 的对应值如下表所示：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线于 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线 x=0
D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断 A、B；当 x=0 或 x=1
时，y=6 可求得其对称轴，可判断 C；由表中所给函数值可判断 D．
【解答】解：
当 x=﹣2 时，y=0，
∴抛物线过（﹣2，0），
∴抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故 A 正确；当 x=0 时，y=6，
∴抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6），故 B 正确；当 x=0 和 x=1 时，y=6，
∴对称轴为 ，故 C 错误；
当 时，y 随 x 的增大而增大，
∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故 D 正确； 故选 C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的图象与坐标轴的交点及对称轴的求法是解题的关键．
5．（4 分）（2017•普陀区一模）如图，在四边形 ABCD 中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是（ ）
A．∠DAC=∠ABC B．AC 是∠BCD 的平分线
C．AC2=BC•CD =
【分析】已知∠ADC=∠BAC，则 A、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在△ADC 和△BAC 中，∠ADC=∠BAC， 如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠ABC 或 AC 是∠BCD 的平分线；
②=； 故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
6．（4 分）（2017•普陀区一模）下列说法中，错误的是（ ）
A．长度为 1 的向量叫做单位向量
B．如果 k≠0，≠，那么 的方向的方向相同
C．如果 k=0 =，那么 =
D．如= = ，其是非零向量，那∥
【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．
【解答】解：A、长度为 1 的向量叫做单位向量，故本选项错误；
B、当 k＞0 ≠时，那么 的方向的方向相同，故本选项正确；
C、如果 k=0 =，那么 =，故本选项错误；
D、如= = ，其是非零向量，那么向量 a 与向量 b 共线，∥， 故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的， 掌握平面向量的性质是解此题的关键．
二、填空题（每题 2 分）
7．（2 分）（2017•普陀区一模）如果 x：y=4：3，那么= ．
【分析】根据比例的性质用 x 表示 y，代入计算即可．
【解答】解：∵x：y=4：3，
∴x= y，
∴ = ， 故答案为．
【点评】本题考查的是比例的性质，根据比例的性质用一个字母表示另一个字母
是解题的关键．
8．（2 分）（2017•普陀区一模）计算：3﹣4（+）= ﹣ ﹣4 ．
【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．
【解答】解﹣4（+）=3﹣4﹣4=﹣﹣4． 故答案是﹣4．
【点评】本题考查平面向量．熟记计算法则即可解题，属于基础题．
9．（2 分）（2017•普陀区一模）如果抛物线 y=（m﹣1）x2 的开口向上，那么 m
的取值范围是 m＞1 ．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数 m﹣1＞0．
【解答】解：因为抛物线 y=（m﹣1）x2 的开口向上， 所以 m﹣1＞0，即 m＞1，故 m 的取值范围是 m＞1．
【点评】解答此题要掌握二次函数图象的特点．
10．（2 分）（2017•普陀区一模）抛物线 y=4x2﹣3x 与 y 轴的交点坐标是 （0，0） ．
【分析】令 x=0 可求得 y=0，可求得答案．
【解答】解：
在 y=4x2﹣3x 中，令 x=0 可得 y=0，
∴抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，0），故答案为：（0，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，掌握求函数图象与坐标轴的交点的方法是解题的关键．